Ejemplo 151 i sean r un anillo conmutativo y a una r

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Unformatted text preview: l multiplicar estos polinomios por una potencia adecuada de x podemos suponer que todos tienen el mismo grado, digamos n. Consideremos el ideal izquierdo J := p1 (x), . . . , pk (x)} = k i=1 A [x] · pi (x) ⊆ I . Paso 2. Sea f (x) ∈ I , afirmamos que f (x) se puede escribir en la forma f (x) = g (x) + h (x) , (1.4.1) donde g (x) ∈ J y h (x) = 0 ´ gr (h (x)) ≤ n. En efecto, si f (x) = 0 o gr (f (x)) ≤ o n, entonces la afirmaci´n es trivialmente cierta con h (x) = f (x), g (x) = 0. Sea o entonces gr (f (x)) := t > n. El coeficiente principal b del polinomio f (x) se puede expresar en la forma 12 CAP´ ITULO 1. CONDICIONES DE CADENA b = r 1 a 1 + · · · + r k a k , r i ∈ A. Es claro que el polinomio f1 (x) := f (x) − xt−n k i=1 ri pi (x) tiene grado a lo sumo igual t − 1, ´, es nulo; por tanto, si o g1 (x) := xt−n k i=1 ri · pi (x) entonces f (x) = g1 (x) + f1 (x), donde g1 (x) ∈ J . Si todav´ gr (f1 (x)) > n repetimos el razonamiento anterior y ıa descomponemos f1 (x), f1 (x) = g2 (x) + f2 (x), con...
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