Ejemplo 331 sea x1 xn un conjunto nito de variables

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Unformatted text preview: llo EndA (M ) es local y sus elementos no invertibles coinciden con sus elementos nilpotentes. Demostraci´n. Sea f ∈ EndA (M ). Seg´n la proposici´n 1.3.4, existe n ≥ 1 tal que o u o M = Im (f n ) ⊕ ker (f n ). Como M es irreducible, ker (f n ) = 0, ´, Im (f n ) = 0. Si o n ker (f ) = 0, entonces ker (f ) = 0 y f es un monomorfismo. Por la misma proposici´n o mencionada, f es un automorfismo, es decir, f es invertible. Si Im (f n ) = 0, entonces f n = 0 y f es nilpotente, es decir, 1 − f es invertible, completando la prueba de la primera afirmaci´n. o Si f no es invertible, entonces ker (f ) = 0, ker (f n ) = 0, y en consecuencia, Im (f n ) = 0, es decir, f es nilpotente. 30 CAP´ ITULO 3. IDEMPOTENTES Y NILPOTENCIA Ejemplo 3.2.7. El rec´ ıproco del corolario 3.2.5 es falso. En efecto, Z es irreducible ∼ Z no es local. pero EndZ (Z) = Ejemplo 3.2.8. QZ no es de longitud finita pero EndZ (Q) ∼ Q es local. Esto = muestra que el rec´ ıproco del lema 3.2.6 no es cierto. Ejemplo 3....
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