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Unformatted text preview: n anillo, G un monoide y o A[G] el anillo del monoide G sobre A. Sea B un anillo tal que existen un homomorfismo θ : G → B del monoide G en el monoide multiplicativo del anillo B y un homomorfismo de anillos θ : A → B de tal forma que θ (a)θ(g ) = θ(g )θ (a), para cada a ∈ A y g ∈ G. Entonces, existe un unico A-homomorfismo de anillos, θ : A[G] → B , tal que θι = θ, ´ donde ι : G → A[G] es la inclusi´n de G en A[G]: o G θ p pp c© ι E A[ G ] pp pp pp θ B θ(a · g ) := θ (a)θ(g ), a ∈ A, g ∈ G. (3.3.3) ´ 3.4. ANILLOS Y ALGEBRAS LIBRES 33 Demostraci´n. Puesto que A[G] es A-libre con base G y B es un A-m´dulo a izquiero o da con el producto dado por a · b := θ (a)b, entonces existe un unico homomorfismo ´ de A-m´dulos θ : A[G] → B tal que θι = θ. Resta probar que θ es multiplicativo, o θ(1) = 1 y la unicidad de θ. Recordemos que ag · g ) := θ( g ∈T ag · θ(g ) = g ∈T θ (ag )θ(g ), g ∈T en particular (3.3.3) se cumple. Resulta θ(1) = θ(1 · e) = θ (1)θ(e) = 1 (otra forma de probar esto es de la siguiente manera: θ(1) = θ(1 · e) = θ(ι(e)) = θ(e) = 1). Si existe otro A-homomorfismo de anillos α : A[G] → B tal que αι = θ, entonces la unicidad del homomorfismo de A-m...
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This document was uploaded on 03/30/2014 for the course COM 01 at Universidad Nacional Autónoma de México.

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