En particular para k 1 denotamos el inverso en k de

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Unformatted text preview: e es un anillo de divisi´n, y por lo tanto, local. o o Para los m´dulos semisimples las condiciones de Noether, de Artin y de generao ci´n finita son equivalentes. o Proposici´n 5.1.5. Para un m´dulo semisimple M las siguientes condiciones son o o equivalentes: (i) M es suma finita de subm´dulos simples. o (ii) M es suma directa finita de subm´dulos simples. o (iii) M es de longitud finita. (iv) M es artiniano. (v) M es noetheriano. (vi) M es finitamente generado. Demostraci´n. (i)⇒(ii) En la demostraci´n del teorema 5.1.1 podemos tomar N = o o 0. (ii)⇒(iii) Si M = n=1 ⊕Mi , Mi simple, 0 M1 M1 ⊕ M2 · · · M es una i cadena de composici´n para M . o (iii)⇒(iv) Consecuencia de la proposici´n 1.3.2. o (iv)⇒(v) Probaremos que cada subm´dulo de M es finitamente generado. Sea o 0 = N ≤ M y n1 ∈ N , n1 = 0. Como N es semisimple existe N1 ≤ N tal que N = {n1 ⊕N1 . Si N1 = 0 no hay m´s que probar. Sea pues N1 = 0 y n2 ∈ N1 , a n2 = 0. Como N1 es semisimple existe N2 ≤ N1 tal que N1 = {n2 ⊕N2 . Si este proceso contin...
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This document was uploaded on 03/30/2014 for the course COM 01 at Universidad Nacional Autónoma de México.

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