En particular para todo anillo de divisin t rad t 0 o

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Unformatted text preview: )a= α(xa) = α · (xa) = α · (x)a. La funci´n g definida por g: A a −→ −→ EndK (I ) a es un homomorfismo de anillos. Adem´s, g es inyectivo: ker (g ) = A ya que g (1) = 0; a entonces por la simplicidad ker (g ) = 0. Veamos ahora que g es sobreyectivo. Sea AI el ideal izquierdo generado por I , en realidad AI es un bil´tero no nulo de A, luego a AI = A. De aqu´ resulta ı g (A) = g (AI ) = g (A) g (I ) . (6.2.1) Veamos ahora que g (I ) es un ideal derecho en EndK (I ): sean f ∈ g (I ) y h ∈ EndK (I ), existe a ∈ I tal que g (a) = a = f . Probemos que f h = ah = (a) h: sea x ∈ I . Entonces, (x) (ah) = (xa) h. Pero dado x cualquiera en I la funci´n o x: I a −→ −→ I xa es un elemento de K . Por tanto, (x) (ah) = (x (a)) h = (x · a)h = x · ((a) h) = x ((a) h) = (x) (a) h. Sea B := EndK (I ). Resulta entonces g (I ) B = g (I ) . (6.2.2) Como g (A) contiene al 1 de B (g (A) es subanillo de B ), entonces el ideal derecho generado por g (A) coincide con B : g (A) B =...
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This document was uploaded on 03/30/2014 for the course COM 01 at Universidad Nacional Autónoma de México.

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