Entonces alj i1 i i2 i i1 i2 i pero como alj

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Unformatted text preview: un ideal derecho (izquierdo) de A. Entonces, las siguientes condiciones son equivalentes: 7.1. RADICAL DE JACOBSON 65 (i) I ⊆ Rad (A). (ii) Para todo a ∈ I , 1 + a es invertible a derecha (izquierda). (iii) Para todo a ∈ I , 1 + a es invertible (⇔ (1 + I ) ⊆ A∗ ). Demostraci´n. Hacemos la prueba para el caso derecho, la del caso izquierdo es o an´loga. a (i)⇒(ii) Consecuencia directa de la proposici´n 7.1.2. o (ii)⇒(iii) Sea a ∈ I , existe b ∈ A tal que (1 + a) b = 1, b = 1 − ab; como ab ∈ I entonces existe c ∈ I tal que (1 − ab) c = 1. Resulta entonces que b es invertible a izquierda y a derecha, es decir, b es invertible y 1 + a es invertible. (iii)⇒(i) Sean a ∈ I , x ∈ A, entonces ax ∈ I y 1 + ax ∈ A∗ , en particular, 1 + ax es invertible a derecha y, seg´n la proposici´n 7.1.2, a ∈ Rad (A). u o Corolario 7.1.6. Sean A un anillo e I un ideal bil´tero propio de A tales que a I ⊆ Rad (A). Entonces, para cada a ∈ A a ∈ A∗ si, y s´lo si, a ∈ (A/I )∗ . o Demostraci´n. ⇒) Eviden...
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