Entonces ar 0 y a rad r x k 73 ejercicios 1

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Unformatted text preview: es la siguiente: sabemos que Rad(Mn (A)) es un bil´tero a a de Mn (A), luego es de la forma Mn (J ), con J un bil´tero de A, adem´s, J est´ caa a a racterizado por J := {a ∈ A|E11 a ∈ Rad(Mn (A))} (v´ase [11]). La idea entonces es e demostrar que J = Rad(A). Si a ∈ J , entonces E + E11 a tiene inversa a derecha, de donde 1 + a es invertible a derecha. Esto prueba que a ∈ Rad(A). Rec´ ıprocamente, si a ∈ Rad(A), entonces 1 + a es invertible a derecha, es decir, existe b ∈ A tal que (1 + a)b = 1. Esto implica que diag (1 + a, 1, . . . , 1)diag (b, 1, . . . , 1) = E , luego E + E11 a es invertible a derecha, es decir, E11 a ∈ Rad(Mn (A)), de donde a ∈ J . 7.1. RADICAL DE JACOBSON 67 (viii) A es un anillo semisimple si, y s´lo si, Mn (A) es un anillo semisimple: o ⇒) Si A es semisimple, entonces A y Mn (A) son artinianos; adem´s, seg´n el a u ejemplo anterior, Rad (Mn (A)) = 0 (ya que Rad (A) = 0), esto quiere decir que Mn (A) es semisimple. ⇐) Basta invertir l...
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This document was uploaded on 03/30/2014 for the course COM 01 at Universidad Nacional Autónoma de México.

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