Este es el teorema de la base de hilbert del cual nos

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Unformatted text preview: Nijl , ijl ∈ I , con 1 ≤ j ≤ r. As´ ı, i∈I Ni = i∈I0 Nj , con I0 = {i11 , · · · , i1k1 ; · · · ; ir1 , · · · , irkr }. Esto garantiza que M es noetheriano. Ejemplo 1.1.6. (i) Notemos que todo m´dulo finito es claramente noetheriano y o artiniano, as´ por ejemplo, el Z-m´dulo Z2 es noetheriano y artiniano; a pesar de esto, ı o no es un m´dulo libre, en constraste con la siguiente situaci´n: sea K un cuerpo y o o sea V un K -espacio vectorial infinito dimensional con base enumerable X = {xi }∞ . i=1 V es entonces un K -m´dulo libre, pero no es artiniano ni noetheriano: o V = x 1 , x2 , x3 , . . . x1 x 2 , x3 , . . . K x 1 , x2 K x3 , . . . K x 1 , x2 , x 3 K K K ··· ··· (ii) Sea A un anillo y A [x] el anillo de polinomios con coeficientes en A. N´tese que o A [x] es un A-m´dulo derecho no noetheriano: o 0 {1 {1, x A A {1, x, x2 A ··· Sin embargo, si A es noetheriano a derecha (izquierda), entonces A [x] es tambi´n e noetheriano a derecha (izquierda). Este es el teorema de la base de Hilbert, del cual nos ocuparemos m´s adelante. De o...
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