Idempotentes y nilpotencia 1 e1 en 323 entonces i

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Unformatted text preview: I0 el conjunto rA (b, I0 ) := {r ∈ A | br ∈ I0 } (3.1.2) es un ideal derecho de A (n´tese que este ideal se puede definir para cualquier o elemento b de A). Como I − I0 = ∅ entonces la colecci´n de ideales derechos como o en (3.1.2) no es vac´ en vista de la noetherianidad existe b0 ∈ I − I0 tal que ıa; 26 CAP´ ITULO 3. IDEMPOTENTES Y NILPOTENCIA rA (b0 , I0 ) := {r ∈ A | b0 r ∈ I0 } es maximal. Como I e I0 son bil´teros, entonces para cada x ∈ A a xb0 ∈ I , rA (b0 , I0 ) ⊆ rA (xb0 , I0 ). Para los x ∈ A tales que xb0 ∈ I0 se tiene que / rA (b0 , I0 ) = rA (xb0 , I0 ) . (3.1.3) Sea x ∈ A tal que xb0 ∈ I0 . Como I es un nilideal y xb0 ∈ I , no es posible que todas / las potencias de xb0 esten fuera de I0 (alguna ser´ igual a 0 ∈ I0 ). Sea k el menor a de tales exponentes, es decir, (xb0 )k−1 ∈ I0 , (xb0 )k ∈ I0 . Seg´n (3.1.3), / u rA (b0 , I0 ) = rA (xb0 )k−1 , I0 . Puesto que xb0 ∈ rA (xb0 )k−1 , I0 , entonces xb0 ∈ rA (b0 , I0 ), es decir, b0 xb0 ∈ I0 para cada x ∈ A tal que xb0 ∈ I0 . Ahora, si x es tal q...
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This document was uploaded on 03/30/2014 for the course COM 01 at Universidad Nacional Autónoma de México.

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