La impli o a cacin iiiiv corresponde precisamente a la

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Unformatted text preview: → M y es inyectivo. Resulta, πj ◦ µj ◦ fj = πj ◦ g ◦ µj . A partir de esta identidad se puede probar f´cilmente que M = Im µj ◦ fj ⊕ ker (πj ) = Uj ⊕ i∈I ⊕Mi . N´tese que a o i=j fj (x) = g (x), para x ∈ Mj . Al asumir que πj ◦ t ◦ µj invertible, resulta la segunda posibilidad. La proposici´n anterior se puede generalizar inductivamente de la siguiente mao nera. Proposici´n 4.2.3. Sean M , {Mi }i∈I , g y t como en la proposici´n 4.2.2. Sea o o E = {i1 , · · · , ik } ⊆ I un subconjunto finito de I . Entonces, existen subm´dulos o Cij ≤ M e isomorfismos rij : Mij −→ Cij , 1 ≤ j ≤ k, cada uno de los cuales es inducido por g ´ por t, tales que o M = Ci1 ⊕ · · · ⊕ Cik ⊕ ⊕Mi . i∈I i∈E / Demostraci´n. Los subm´dulos Cij se construyen sucesivamente con ayuda de la o o proposici´n anterior. Hagamos all´ j = i1 y tomemos Ci1 := Ui1 . Obtenemos M = o ı ∼ Ci ⊕ i∈I ⊕Mi . Como Mi = Ci entonces EndA (Ci ) es local y podemos 1 i=i1 1 1 1 aplicar la proposici´n 4.2.2 a esta nueva descomposici´n de M con...
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This document was uploaded on 03/30/2014 for the course COM 01 at Universidad Nacional Autónoma de México.

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