La siguiente proposicin establece que estas

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Unformatted text preview: etheriano (artiniano) si cada conjunto no vac´ de subm´dulos de ıo o M tiene elemento maximal (minimal). (ii) El anillo A es noetheriano a la derecha (artiniano a la derecha) si el m´dulo o AA es noetheriano (artiniano). De manera similar se definen los anillos noetherianos o artinianos a izquierda. La siguiente proposici´n establece que estas condiciones se pueden expresar en t´rminos o e de cadenas ascendentes y descendentes. Proposici´n 1.1.2. Sean M un A-m´dulo y N ≤ M . Entonces, o o (a) Las siguientes condiciones son equivalentes: (i) M es artiniano. 1 2 CAP´ ITULO 1. CONDICIONES DE CADENA (ii) N y M/N son artinianos. (iii) Cada cadena descendente N 1 ≥ N2 ≥ N 3 ≥ · · · de subm´dulos de M se detiene, es decir, existe k ≥ 1 tal que Nk = Nk+i o para todo i ≥ 0. (iv) Para cada conjunto {Ni | i ∈ I } = ∅ de subm´dulos de M existe un subo conjunto finito I0 ⊆ I tal que Ni = i∈I Ni . i∈I0 (b) Las siguientes condiciones son equivalentes: (i) M es noetheriano. (ii) N y M/N son noetherianos. (iii) Cada caden...
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