Podemos suponer sin prdida de o e generalidad que n

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Unformatted text preview: j = i2 . Al cabo o o de k pasos obtenemos el resultado de la proposici´n. o 42 CAP´ ITULO 4. TEOREMA DE KRULL-SCHMIDT Proposici´n 4.2.4. Sean M , {Mi }i∈I , g y t como en la proposici´n 4.2.2. Sean o o N, N ≤ M con N = 0 irreducible tales que M = N ⊕ N . Sea π : M −→ N la proyecci´n can´nica. Entonces, existe k ∈ I tal que π induce un isomorfismo de o o Mk sobre N y M = Mk ⊕ N . Demostraci´n. Sean µ : N −→ M la inclusi´n can´nica y π := µ ◦ π . Eno o o tonces π , 1 − π ∈ EndA (M ), y adem´s, 1 = π + (1 − π ). Aplicaremos la proposici´n a o 4.2.3 con g = π y t = 1 − π . Sea a ∈ N , a = 0, entonces π (a) = µ ◦ π (a) = a, de donde (1 − π ) (a) = 0; a tiene una representaci´n en la forma, o a= l j =1 mij , con mij = 0, ij ∈ I , mij ∈ Mij , y mediante la proposici´n 4.2.3, con E = {i1 , . . . , il }, encontramos subm´dulos o o Ci1 , . . . , Cil e isomorfismos rij : Mij −→ Cij , 1 ≤ j ≤ l. Sup´ngase que todos o los isomorfismos rij son inducidos por 1 − π . Entonces 0 = (1 − π ) (a) = l j =1 (1 − π ) mij = l j =1 rij mij . C...
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This document was uploaded on 03/30/2014 for the course COM 01 at Universidad Nacional Autónoma de México.

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