Por tanto g a1 f1 an fn tiene trmino constante nulo

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Unformatted text preview: noetheriano y consideremos el homomorfismo sobreyectivo f definido por f α : R[[x]] − R → (pi ) → p0 . Entonces, R[[x]]/ ker(f ) ∼ R y de esta manera R es noetheriano (proposici´n 1.1.3). o = Supongamos ahora que R es noetheriano. Probaremos inicialmente la siguiente propiedad debida a Cohen: Sea R un anillo conmutativo. R es noetheriano si, y s´lo si, cada ideal primo de o R es finitamente generado. La condici´n necesaria es evidente. Veamos la prueba de la condici´n suficiente: o o sea M el conjunto de todos los ideales de R que no son finitamente generados. La idea es mostrar que M es vac´ Supongamos lo contrario, es decir, sea M = ∅, ıo. mediante el lema de Zorn podemos garantizar que M tiene un elemento maximal P ; si probamos que P es primo obtendremos una contradicci´n con lo supuesto. o Veamos entonces que P es un ideal primo de R: si P no es un ideal primo, existen elementos a, b ∈ R con ab ∈ P, pero a ∈ P, b ∈ P. Entonces el ideal P + Ra / / (el cual contiene a a) y (P : a ) = {x ∈ R | xa ∈ P } , (el cual contiene a b), son estrictamente m´s grandes q...
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