Por ultimo para cada i c0 tenemos que ei a ii y si x

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Unformatted text preview: ue xb0 ∈ I0 entonces tambi´n / e b0 xb0 ∈ I0 (I0 es bil´tero). En conclusi´n, para cada x ∈ A, b0 xb0 ∈ I0 , con lo cual a o 2 (b0 A) ⊆ I0 . Seg´n lo probado arriba, b0 A ⊆ I0 , luego b0 ∈ I0 , y se obtiene una u contradicci´n. o (ix) Sea I un ideal minimal derecho de A (la prueba para izquierdos es an´loga). a 2 Si para cualesquiera elementos a, b ∈ I , ab = 0, entonces I = 0 y el ´ ındice de nilpotencia de I es 2. Sean pues a, b ∈ I con ab = 0. aI es un ideal derecho no nulo contenido en I . Por tanto, aI = I . Sea e ∈ I con ae = a. Mostremos que eA = I , e2 = e, e = 0. La ultima condici´n es evidente ya que de lo contrario a = 0. Como 0 = ´ o eA ⊆ I entonces eA = I y (e2 − e) A ⊆ I . Si (e2 − e) A = I , entonces b = (e2 − e) x, x ∈ A, y de aqu´ ab = a (e2 − e) x = (ae2 − ae) x = (aee − a) x = (ae − a) x = ı (a − a) x = 0, lo cual es falso. Entonces, (e2 − e) A = 0 , y as´ (e2 − e) 1 = 0, es ı, 2 decir, e = e. (x) (a)⇒(b) Sup´ngase que A tiene un idea...
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This document was uploaded on 03/30/2014 for the course COM 01 at Universidad Nacional Autónoma de México.

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