Probaremos ahora que los mdulos nitamente generados

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Unformatted text preview: ualquiera de Γ, entonces resulta la cadena descendente N0 N0 N0 ··· la cual no se detiene, en contradicci´n con la condici´n (iii). o o (i)⇒(iv) En el conjunto de todas las posibles intersecciones finitas de subm´dulos o Nj , j ∈ I , hay elemento minimal, digamos D = i∈I0 Ni , I0 ⊆ I finito. Para cada j ∈ I , D ∩ Nj est´ en el conjunto mencionado, pero por la minimalidad de D se a tiene que D ∩ Nj = D, es decir, D ≤ Nj . Entonces D ≤ j ∈I Nj ≤ D, es decir, D = j ∈ I Nj . (iv)⇒(iii) Sea N1 ≥ N2 ≥ N3 ≥ · · · una cadena descendente de subm´dulos, o existe n tal que ∞ i=1 Ni = n i=1 Ni = Nn ; esto implica que Nn = Nj , j ≥ n. Probaremos ahora que los m´dulos finitamente generados sobre anillos noetheo rianos (artinianos) son noetherianos (artinianos). Proposici´n 1.1.3. Sea M un A-m´dulo. o o (i) Si M es una suma finita de subm´dulos noetherianos (artinianos), entonces o M es noetheriano (artiniano). (ii) Si A es noetheriano a la derecha (artiniano a l...
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This document was uploaded on 03/30/2014 for the course COM 01 at Universidad Nacional Autónoma de México.

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