Proposicin 132 un mdulo m es artiniano y noetheriano

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Unformatted text preview: Lj,1 ≤ · · · ≤ Lj,k = Lj +1 . Los refinamientos obtenidos de L y N se denotan por L∗ y N ∗ y tienen longitud kr. Seg´n el lema de Zassenhaus u Ni,j +1 /Ni,j = Ni + (Ni+1 ∩ Lj +1 ) /Ni + (Ni+1 ∩ Lj ) ∼ Lj + (Lj +1 ∩ Ni+1 ) /Lj + (Lj +1 ∩ Ni ) = = Lj,i+1 /Lj,i . Reindizando los elementos de L∗ y N ∗ , no con parejas sino con naturales de 0 a kr encontramos π ∈ Skr en la forma (i, j ) → t, (i, j + 1) → t + 1 π (t) → (j, i), π (t) + 1 → (j, i + 1) y entonces Nt∗ /Nt∗ ∼ L∗ (t)+1 /L∗ (t) , 0 ≤ t ≤ kr − 1, =π +1 π con lo cual L∗ ∼ N ∗ . = 9 ´ 1.3. MODULOS DE LONGITUD FINITA El teorema anterior es particularmente importante para los m´dulos de longitud o finita. Corolario 1.2.5. Sea M un m´dulo de longitud finita. Entonces o (i) Cada cadena de la forma N : 0 = N0 hasta una cadena de composici´n. o N1 ··· Nk = M se puede refinar (ii) Cualesquiera dos cadenas de composici´n de M son isomorfas. o Demostraci´n. (i) Seg´n la hip´tesis, M tiene una cadena de c...
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