Prximamente probaremos o que los anillos simples y

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Unformatted text preview: obar. Sea entonces N de la forma m , m | n, m = 1, m = n. Reordenando ´ ındices podemos suponer sin p´rdida de generalidad que m = p1 · · · pt , e con 1 ≤ t < r. Se tiene entonces Zn = m ⊕ m0 , con m0 = pt+1 · · · pr . Este ejemplo muestra tambi´n que no todo m´dulo semisimple es simple. e o (v) Semisimple no implica noetheriano: un espacio vectorial de dimensi´n infinita. o (vi) Noetheriano no implica semisimple: Z. (vii) Semisimple no implica artiniano: el mismo contrajemplo que en (v). (viii) Artiniano no implica semisimple: seg´n el ejemplo 1.5.1, Zp∞ := Qp /Z es u 1 1 artiniano y sus subm´dulos propios son los de la cadena 0 o · · · . N´tese o p p2 1 que p no es sumando directo de Zp∞ , con lo cual este ultimo no es semisimple. ´ (ix) Dados un m´dulo M y un subm´dulo N con N y M/N semisimples, entonces o o no necesariamente M es semisimple: M = Zp2 , N = p , p primo. Algunas de las consecuencias inmediatas del teorema 5.1.1 son las siguientes. Corolario 5.1.4. Sea A un anillo. Entonces, (i) Cada subm´dulo de un A-m´dulo semisimple es semisimple. o o (ii) Cada imagen homomorfa de...
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