Resulta a0 a1 an rad r y por tanto a x rad

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Unformatted text preview: s ars · Ers ∈ Rad (Mn (A)), entonces Eii F Ejj = aij · Eij ∈ Rad (Mn (A)). Sea Pij la matriz de permutaci´n definida por o Pij := E − Eij − Ejj + Eij + Eji , entonces (aij · Eij ) Pij = diag (0, . . . , 0, aij , 0, . . . , 0) ∈ Rad (Mn (A)). p osici´n i o Sea x ∈ A, entonces E + diag (0, . . . , 0, aij , 0, . . . , 0) diag (0, . . . , 0, x, 0, . . . , 0) es invertible a derecha, es decir, existe B ∈ Mn (A) tal que DB = E con D := E + diag (0, · · · , aij , · · · , 0) diag (0, · · · , x, · · · , 0). N´tese que eii = 1 = n=1 dik bki = o k dii bii = (1 + aij x) bii . Esto implica que aij ∈ Rad (A), y la inclusi´n est´ probada. o a Mn (Rad (A)) ⊆ Rad (Mn (A)): sean H = [aij ] ∈ Mn (Rad (A)), X = [xij ] ∈ Mn (A) y F = [fij ] := E + HX . N´tese que fij = n=1 aik xkj ∈ Rad (A) para i = j , o k adem´s, fii = 1 + n=1 aik xki ∈ A∗ . Por inducci´n sobre n se puede establecer que a o k bajo estas dos condiciones F resulta invertible, es decir, H ∈ Rad(Mn (A)). Una prueba m´s corta...
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