Se tiene que ax an xn n a0 a1 x an1 xn1 r x

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Unformatted text preview: llo de divisi´n de cuaterniones, v´ase [11]. o e (iii) Rad (Z) = 0; Rad (Zn ) = p1 · · · pt , donde n = pk1 · · · pkt es la descomposit 1 ci´n irreducible de n. o 66 CAP´ ITULO 7. RADICALES (iv) Rad (A/Rad (A)) = 0. (v) Sea I un ideal bil´tero de A. Por (i), al aplicar j : A −→ A/I resulta a (Rad (A) + I ) /I ⊆ Rad (A/I ); si I ⊆ Rad (A), entonces Rad (A/I ) = Rad (A) /I = {a | a ∈ Rad (A)}. (vi) Sea {Ai }i∈I una familia no vac´ de anillos, entonces ıa Rad i∈I Ai = i∈I Rad (Ai ) . En efecto, sea a = (ai ) ∈ Rad i∈I Ai , donde para cada i ∈ I , ai ∈ Ai , entonces 1 + ax es invertible a derecha, con x = (xi ) ∈ A. Existe z = (zi ) ∈ A tal que (1 + ai xi ) zi = 1, para cada i ∈ I , es decir, ai ∈ Rad (A), para cada i ∈ I . La prueba de la otra inclusi´n es similar. o Como caso particular de lo anterior tenemos que si X = ∅, entonces Rad AX = Rad (A)X . (vii) Sea A un anillo cualquiera y n ≥ 1. Entonces Rad (Mn (A)) = Mn (Rad (A)) . Rad (Mn (A)) ⊆ Mn (Rad (A)): sea F = r,...
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This document was uploaded on 03/30/2014 for the course COM 01 at Universidad Nacional Autónoma de México.

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