Teorema de artin wedderburn suma nita de minimales y

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Unformatted text preview: imple. De otra parte, Sea K un cuerpo, entonces K [x] es una K -´lgebra, como K -m´dulo es semisimple, pero como anillo no es semisimple. a o As´ pues, para hablar sobre semisimplicidad de ´lgebras se debe ser expl´ ı a ıcito sobre el tipo de estructura que se est´ considerando. a (ix) Seg´n la proposici´n 5.2.4, si A es un anillo semisimple, entonces Mn (A), u o n ≥ 1, es un A-m´dulo semisimple. ¿Es Mn (A) un anillo semisimple? La respuesta o a esta pregunta la tendremos m´s adelante, por ahora observemos que si T es un a anillo de divisi´n, entonces Mn (T ), n ≥ 1, es un anillo semisimple: o 0···0 T ···T 0 Mn (T ) = ⊕ T ···T ⊕ ··· ⊕ , 0 T ···T 0 cada sumando es un ideal derecho minimal de Mn (T ). Pr´ximamente probaremos o que los anillos simples y artinianos son precisamente anillos de matrices sobre anillos de divisi´n. As´ pues, todo anillo simple artiniano es semisimple. o ı 5.2. ANILLOS SEMISIMPLES 51 (x) Noetheriano no implica semisimple: Z es noetheriano no semisimple. (xi) Artiniano no implica semisimple: si la condici´n de artiniano impli...
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