A ejemplo 133 i z y q no son mdulos de longitud nita z

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Unformatted text preview: omposici´n L. De o u o o ∗ acuerdo con el teorema 1.2.4, N y L tienen refinamientos isomorfos N y L∗ , respectivamente. Como L es de composici´n entonces L∗ = L y as´ N ∗ es tambi´n una o ı e cadena de composici´n, que es a su vez un refinamiento de N . o (ii) Consecuencia directa del teorema 1.2.4. 1.3. M´dulos de longitud finita o El corolario 1.2.5 permite definir la longitud de un m´dulo de longitud finita. En o esta secci´n mostraremos que los m´dulos de longitud finita coinciden con aquellos o o que son simult´neamente noetherianos y artinianos. a Definici´n 1.3.1. Sea M un m´dulo de longitud finita. Se denomina longitud de o o M , denotada por long (M ), a la longitud de cualquier cadena de composici´n de M . o Si M = 0, entonces long (M ) = 0. Proposici´n 1.3.2. Un m´dulo M es artiniano y noetheriano si, y s´lo si, M es o o o un m´dulo de longitud finita. o Demostraci´n. ⇒) Seg´n la proposici´n 1.1.5, cada subm´dulo de M es finitamente o u o o generado. Esto implica que en cada subm´dulo N de M hay un subm...
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