A a cap tulo 4 teorema de krull schmidt en este cap

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Unformatted text preview: e B se puede expresar como una suma finita de elementos de la forma r · xk1 · · · xkn , con r ∈ R, xi ∈ X y ki ≥ 0, para 1 ≤ i ≤ n. Si X es finito se dice que 1 n B es finitamente generada. Ejemplo 3.4.6. Sea R un anillo conmutativo, el ´lgebra habitual de polinomios a R[x1 , . . . , xn ] es finitamente generada por el conjunto {x1 , . . . , xn }. N´tese sin emo bargo que como R-m´dulo esta ´lgebra no es de generaci´n finita. De otra parte, es o a o claro que si X es un sistema de generadores de B como R-m´dulo, entonces X es o un sistema de generadores del ´lgebra. As´ pues, si B es finitamente generada como a ı R-m´dulo, entonces B es finitamente generada como ´lgebra. o a Corolario 3.4.7. Toda R-´lgebra es el cociente de un ´lgebra libre. a a Demostraci´n. Sea B una R-´lgebra y sea X un sistema de generadores de B , o a entonces cada elemento b ∈ B es una suma finita de elementos de la forma r · xk1 · · · xkn , con r ∈ R, xi ∈ X y ki ≥ 0,...
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