A vii para cada anillo a ax no es semisimple en caso

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Unformatted text preview: ces V no es simple. (iii) Z y Q no son semisimples como Z-m´dulos ya que no poseen Z-subm´dulos o o simples. ´ 5.1. MODULOS SEMISIMPLES 47 (iv) Zn es Z-semisimple si, y s´lo si, n es libre de cuadrados ´ n = 1: o o 2 ⇒) Si n ≥ 2 no es libre de cuadrados, entonces n = p s con p primo. Afirmamos que p no es sumando directo de Zn . En efecto, recordemos que r es sumando directo de Zn si, y s´lo si, m.c.d.(r, n) = 1 (v´ase [12]). Veamos una prueba directa: o e claramente p = 0 y p = Zn ; supongamos que p es sumando directo de Zn , existe entonces k | n tal que p ⊕ k = Zn ; resulta 1 = ap + bk , a, b ∈ Z; de aqu´ p2 s | (ap + bk − 1) y entonces p | (bk − 1); es decir, m.c.d. (p, k ) = 1. De otra ı parte, kp = k p = pk debe ser nulo, es decir, n | kp y entonces kp = p2 st, pero esto implica p | k , lo cual es contradictorio. ⇐) Si n = 1, entonces Z1 = 0 y la semisimplicidad es por definici´n. Sea n ≥ 2, o n = p1 · · · pr un producto de primos diferentes. Sea N ≤ Zn . Si N = 0, ´, N = Zn , o no hay nada que pr...
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This document was uploaded on 03/30/2014 for the course COM 01 at Universidad Nacional Autónoma de México.

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