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CUADERNOS DE ´ ALGEBRA No. 6 Anillos y m´ odulos Oswaldo Lezama Departamento de Matem´aticas Facultad de Ciencias Universidad Nacional de Colombia Sede de Bogot´a 30 de mayo de 2013
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ii Cuaderno dedicado Carlos Hernando, mi hermano.
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Contenido Pr´ ologo v 1. Condiciones de cadena 1 1.1. Condiciones de Noether y Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. Cadenas de subm´ odulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3. M´ odulos de longitud finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4. El teorema de la base de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2. Anillos locales no conmutativos 19 2.1. Definici´ on y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3. Idempotentes y nilpotencia 23 3.1. Definiciones y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.2. Descomposici´ on ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.3. Anillo de un monoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.4. Anillos y ´ algebras libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4. Teorema de Krull-Schmidt 39 4.1. Teorema de descomposici´on irreducible . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.2. Teorema de unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5. Anillos y m´ odulos semisimples 45 5.1. M´ odulos semisimples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.2. Anillos semisimples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 5.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 iii
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iv CONTENIDO 6. Teorema de Artin-Wedderburn 54 6.1. Parte I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 6.2. Parte II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 6.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 7. Radicales 63 7.1. Radical de Jacobson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 7.2. Radical primo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 7.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Bibliograf´ ıa 74
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Pr´ ologo La colecci´ on Cuadernos de ´algebra consta de 10 publicaciones sobre los principales temas de esta rama de las matem´aticas, y pretende servir de material para preparar los ex´amenes de admisi´ on y de candidatura de los programas colombianos de doc- torado en matem´ aticas. Los primeros cinco cuadernos cubren el material b´asico de los cursos de estructuras algebraicas y ´algebra lineal de los programas de maestr´ ıa; los cinco cuadernos siguientes contienen algunos de los principales temas de los ex´amenes de candidatura, a saber: anillos y m´odulos, categor´ ıas, ´algebra homol´ogi- ca, ´algebra conmutativa y geometr´ ıa algebraica. Cada cuaderno es fruto de las clases dictadas por el autor en la Universidad Nacional de Colombia en los ´ultimos 25 a˜nos, y est´an basados en las fuentes bibliogr´aficas consignadas en cada uno de ellos, como tambi´ en en el libro Anillos, M´odulos y Categor´ ıas , publicado por la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional de Colombia, y cuya edici´on est´a totalmente agotada (v´ ease [ 10 ]). Un material similar al presentado en estas diez publicaciones es el libro de Serge Lang, Algebra , cuya tercera edici´on revisada ha sido publicada por Springer en el 2004 (v´ ease [ 9 ]). Posiblemente el valor de los Cuadernos de ´ alge- bra sea su presentaci´ on m´ as ordenada y did´actica, as´ ı como la inclusi´on de muchas pruebas omitidas en la literatura y suficientes ejemplos que ilustran la teor´ ıa. Los cuadernos son: 1. Grupos 6. Anillos y m´ odulos 2. Anillos 7. Categor´ ıas 3. M´ odulos 8. ´ Algebra homol´ogica 4. ´ Algebra lineal 9.
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