Gi gj gk ij 1n es fcil comprobar que a g es un anillo

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Unformatted text preview: y 1 son los unicos idempotentes de B . ´ Demostraci´n. Seg´n el corolario 3.2.3, basta probar la equivalencia (i)⇔(iv). o u (i)⇒(iv): sea e un idempotente de B , entonces 1 = e + (1 − e) y para cada m ∈ M , m = e · m + (1 − e) · m. Esto implica que M = e · M ⊕ (1 − e) · M , ya que si e · (m1 ) = (1 − e) · (m2 ), entonces e2 · m1 = e · m1 = e · (1 − e) · m2 = 0. Seg´n (i), u e · M = 0 ´ (1 − e) · M = 0, es decir, e = 0 ´ e = 1. o o (iv)⇒(i): sea M = N1 ⊕ N2 , con N1 , N2 ≤ M . Consideremos la proyecci´n o p1 : M n1 + n2 −→ −→ N1 n1 p1 es un endomorfismo idempotente de M , con lo cual p1 = 0 ´ p1 = 1. En el primer o caso N1 = 0 y en el segundo N1 = M , as´ M es irreducible. ı, Corolario 3.2.5. Si B := End (MA ) es local, entonces MA es irreducible. Demostraci´n. Consecuencia del corolario anterior ya que en un anillo local los o unicos idempotentes son los triviales. ´ Estudiamos ahora el rec´ ıproco del corolario anterior. Lema 3.2.6. Sea M = 0 un m´dulo irreducible de longitud finita. Entonces, el o ani...
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This document was uploaded on 03/30/2014 for the course COM 01 at Universidad Nacional Autónoma de México.

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