I estas dos propiedades implican que p es idempotente

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Unformatted text preview: uara indefinidamente, entonces tendr´ ıamos una cadena descendente infinita de subm´dulos de M : o ··· N2 N1 N , ( n 1 ∈ N1 , n 2 ∈ N2 , · · · ) / / en contradicci´n con la condici´n de Artin de M . As´ N = {n1 ⊕ · · · ⊕ {nt . o o ı, (v)⇒(vi) Consecuencia de la proposici´n 1.1.5. o (vi)⇒(i) Sea M = {x1 + · · · + {xk ; como M es semisimple entonces M = i∈I Mi , con Mi simple. Para cada xj existe un subconjunto finito Ij ⊆ I tal que xj ∈ i∈Ij Mi ; esto implica que {xj ⊆ i∈Ij Mi para cada 1 ≤ j ≤ k , M ⊆ i∈I0 Mi , con I0 = I1 ∪ · · · ∪ Ik , es decir, M = i∈I0 Mi , con I0 finito. 5.2. ANILLOS SEMISIMPLES 5.2. 49 Anillos semisimples Definimos y caracterizamos enseguida los anillos semisimples. La caracterizaci´n se o har´ de una manera externa, es decir, a trav´s de sus subm´dulos. En el cap´ a e o ıtulo siguiente haremos una caracterizaci´n interna de estos anillos. o Definici´n 5.2.1. Un anillo A se dice semisimple a derecha si AA...
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