Ii debemos ahora ver que dimk i es conveniente hacer

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Unformatted text preview: is, ı u o existe I2 ≤ AA tal que A = I1 ⊕ I2 . Entonces A ∩ I0 = I0 = I1 ⊕ (I2 ∩ I0 ). I2 ∩ I0 = 0 ya que de lo contrario I0 = I1 ser´ suma finita de minimales derechos. ıa Como I2 ∩ I0 ⊆ I0 , entonces por la minimalidad de I0 , I2 ∩ I0 ∈ Γ, de donde I2 ∩ I0 es / 56 CAP´ ITULO 6. TEOREMA DE ARTIN-WEDDERBURN suma finita de minimales y tambi´n I0 = I1 ⊕ (I2 ∩ I0 ) es suma finita de minimales, e obteni´ndose una contradicci´n. En consecuencia, Γ = ∅ y A es semisimple. e o (ii)⇒(vii): supongamos que A tiene una descomposici´n como se indica en (6.1.1). o Consideremos la colecci´n de ideales derechos de (6.1.1) que son isomorfos a I1 como o A-m´dulos. Sea J1 la suma de tales ideales derechos. Reindizando si es necesario, o sea I2 un ideal derecho de (6.1.1) no isomorfo a I1 y denotemos por J2 a la suma de todos los ideales derechos de (6.1.1) isomorfos a I2 . Continuando de esta manera obtenemos A = J1 ⊕ · · · ⊕ Jk , donde l´gicamente cada Jj es un ideal derecho de A, 1 ≤ j ≤ k...
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