Iii puesto que cada conjunto no vac de submdulos de n

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Unformatted text preview: a ascendente N1 ≤ N2 ≤ N3 ≤ · · · de subm´dulos de M se detiene, es decir, existe k ≥ 1 tal que Nk = Nk+i o para todo i ≥ 0. (iv) Para cada conjunto {Ni | i ∈ I } = ∅ de subm´dulos de M existe un subo conjunto finito I0 ⊆ I tal que Ni = i∈I Ni . i∈I0 Demostraci´n. Realizamos la prueba de la parte (a), la demostraci´n de la parte o o (b) es similar y la dejamos al lector. (i)⇒(ii) Puesto que cada conjunto no vac´ de subm´dulos de N es un conjunto ıo o no vac´ de subm´dulos de M , entonces en dicho conjunto hay un elemento minimal, ıo o y as´ N es artiniano. Sea {Qi }i∈I un conjunto no vac´ de subm´dulos de M/N y ı ıo o sea j : M −→ M/N el epimorfismo can´nico; {j −1 (Qi )}i∈I es una familia no o vac´ de subm´dulos de M . Sea j −1 (Qi0 ) su elemento minimal. Veamos que Qi0 es ıa o minimal de {Qi }i∈I . En efecto, sea Qi ≤ Qi0 , entonces j −1 (Qi ) ≤ j −1 (Qi0 ) y, por la minimalidad, j −1 (Qi ) = j −1 (Qi0 ). De aqu´ resulta j (j −1 (Qi )) = j...
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This document was uploaded on 03/30/2014 for the course COM 01 at Universidad Nacional Autónoma de México.

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