O a es semiprimario si rada es nilpotente y arada es

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Unformatted text preview: de A a izquierda . Nuestro prop´sito inmediato es probar que Rad (A A) = Rad (AA ), de donde Rad (A) es un o ideal bil´tero de A. a Proposici´n 7.1.2. Sea A un anillo. Entonces o (i) Rad (AA ) = MA es simple Ann (MA ). (ii) Rad (AA ) = {a ∈ A | 1 + ax es invertible a derecha, para cada x ∈ A}. (iii) Rad (AA ) = {a ∈ A | 1 + zax ∈ A∗ , para cualesquiera z, x ∈ A}. Demostraci´n. (i) Sea o B := Ann (MA ) MA es simple y sean a ∈ B e I un ideal maximal derecho de A. Entonces, A/I es A-simple derecho y (A/I ) a = 0; en particular, 1a = a = 0, es decir, a ∈ I . En consecuencia, a ∈ Rad (AA ). 63 64 CAP´ ITULO 7. RADICALES Para probar la inclusi´n Rad (AA ) ⊆ B notemos en primer lugar que como M es o A-simple entonces para cada 0 = m ∈ M , Ann (m) es un ideal maximal derecho de A: en efecto, como M es simple entonces M = {m ∼ A/Ann(m). Resulta entonces = I⊆ Rad (AA ) = I max. der. de A ( MA simple Ann (m)) = m∈M Ann (MA ) = B, MA es simple ya que Ann (M ) = m∈M Ann (m), para cada A-m´dulo M . o (ii) Sea C := {a ∈...
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This document was uploaded on 03/30/2014 for the course COM 01 at Universidad Nacional Autónoma de México.

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