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Unformatted text preview: M´dulos semisimples o Teorema 5.1.1. Para cada A-m´dulo M = 0 las siguientes condiciones son equivo alentes: (i) Cada subm´dulo no nulo de M es suma de subm´dulos simples. o o (ii) M es una suma de subm´dulos simples. o (iii) M es suma directa de subm´dulos simples. o (iv) Cada subm´dulo de M es sumando directo. o Demostraci´n. (i)⇒(ii) Evidente. o (ii)⇒(iii)⇒(iv) Sea M = i∈I Mi , donde Mi es simple para cada i ∈ I . Probaremos que dado N ≤ M existe J0 ⊆ I tal que M =N⊕ ⊕Mi . i∈J0 De ser as´ escogemos N = 0 y la implicaci´n (ii)⇒(iii) estar´ probada. La impliı, o a caci´n (iii)⇒(iv) corresponde precisamente a la propiedad mencionada. Sea o Γ := J ⊆I|N+ Mi = N ⊕ i∈J ⊕Mi i∈J 45 . 46 ´ CAP´ ITULO 5. ANILLOS Y MODULOS SEMISIMPLES Como N + 0 = N ⊕ 0 y 0 = i∈∅ ⊕Mi entonces ∅ ∈ Γ, con lo cual Γ = ∅. Γ est´ parcialmente ordenado por inclusi´n. Sea θ una cadena de Γ y sea J ∗ := J ∈θ J . a o J ∗ es cota superior para θ, veamos que J ∗ ∈ Γ, es decir, ⊕Mi . Mi = N ⊕ N+ i...
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This document was uploaded on 03/30/2014 for the course COM 01 at Universidad Nacional Autónoma de México.

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