O o para los mdulos semisimples las condiciones de

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Unformatted text preview: ci´n h i → i. o Caso 2. i es infinito: denotemos por πj la proyecci´n de M en Nj , j ∈ J . Para o cada k ∈ I definimos 44 CAP´ ITULO 4. TEOREMA DE KRULL-SCHMIDT E (k ) := j ∈ J | πj induce un isomorfismo de Mk sobre Nj . Afirmamos que E (k ) es finito para cada k ∈ I (eventualmente E (k ) puede ser vac´ sea m = 0 en Mk , existe un subconjunto de ´ ıo): ındices, Cm = {j1 , . . . , jt } ⊆ J tal que m = nj1 + · · · + njt , donde njl ∈ Njl , njl = 0, 1 ≤ l ≤ t. Si j ∈ E (k ), entonces πj (m) = 0; pero si esto ultimo se cumple, entonces necesariamente j ∈ Cm . As´ pues, ´ ı si j ∈ E (k ), entonces j ∈ m∈Mk −{0} Cm y E (k ) es necesariamente finito. u o h i ⊆ k∈i E (k ): sea j ∈ h i , entonces Mi ∼ Nj y seg´n la proposici´n 4.2.4, = existe k ∈ I tal que Mk ∼ Nj . Resulta Mi ∼ Mk , es decir, k ∈ i, j ∈ E (k ) y = = j ∈ k∈i E (k ). u o k∈i E (k ) ⊆ h i : como h i = ∅ entonces, seg´ n la inclusi´n establecida anteriormente, k∈i E (k ) = ∅. Sea pues j ∈ k∈i E (k ). Existen k ∈ i y j ∈ E (k ) tales que Mk ∼ Mi , M...
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