U concluimos la prueba de viii armando que i0 i

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Unformatted text preview: s el n´mero de primos ı u diferentes en la descomposici´n de m = pr1 · · · prk . En efecto, se tiene el isomorfismo o 1 k de anillos Zm ∼ Zpr1 × · · · × Zprk y basta aplicar (i) y (iii). =1 k (v) Calculemos los elementos nilpotentes de Zm , m = pr1 · · · prk . Sea r, con 1 k 1 ≤ r ≤ m, un elemento nilpotente de Zm , entonces rn = 0, m | rn , pri | rn , i 1 ≤ i ≤ k , pi | rn , pi | r, 1 ≤ i ≤ k , p1 · · · pk | r y r = p1 · · · pk s , donde 1 ≤ s ≤ pr1 −1 · · · prk −1 . Rec´ ıprocamente, cada elemento de esta forma es nilpotente: 1 k sea t := m´x {ri }, entonces rt = pt · · · pt st = 0, y t es el ´ a ındice de nilpotencia de r. 1 k (vi) Zm , con m ≥ 2, es noetheriano, y por tanto, sus nilideales coinciden con sus ideales nilpotentes. Como los ideales de Zm son principales, seg´n (v), los nilpotentes u son de la forma r , con r como en el ejemplo (v). Algunas propiedades notables relacionadas con los conceptos de la definici´n o 3.1.1 son las siguientes. Proposici´n 3.1.3. Sea A un anillo y a ∈ A. o (i)...
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