V 3 hungerford t algebra springer 2003 4 hazewinkel

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Unformatted text preview: , para todo subm´dulo N o de M se cumple M · I + N = M ⇔ N = M. Demostraci´n. Primero probemos que si M e I son como en el enunciado del lema o y tales que M · I = M , entonces M = 0: sup´ngase que M = 0 y sea {x1 , . . . , xk } un o sistema minimal de generadores para M . Entonces, x1 ∈ M · I , con lo cual x1 puede expresarse en la forma x1 = x1 · a1 + · · · + xk · ak , donde ai ∈ Rad(A) (recordemos que Rad(A) es bil´tero), 1 ≤ i ≤ k ; resulta, x1 · (1 − a1 ) = x2 · a2 + · · · + xk · a ak , con (1 − a1 ) ∈ A∗ , es decir, x1 ∈ x2 , · · · , xk y M = x2 , · · · , xk , lo cual es contradictorio. Regresando al enunciado original, es claro que si N = M , entonces M ·I +N = M . Para la otra implicaci´n, sea M := M/N ; n´tese que M = M · I , entonces, seg´n lo o o u probado, M = 0, es decir, M = N . Proposici´n 7.1.9. Sea A un anillo. Entonces, o (i) Cada nilideal derecho (izquierdo, bil´tero) est´ contenido en Rad (A). a a 68 CAP´ ITULO 7. RADICALES (ii) Si AA (A A) es artiniano, entonces Rad (A) es nilpotente. (iii) Si AA (A A) es artiniano, entonces Rad (A) es el mayor ideal derecho (izquierdo) nilpotente de...
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This document was uploaded on 03/30/2014 for the course COM 01 at Universidad Nacional Autónoma de México.

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