V si m es de longitud nita entonces existe n0 n tal

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Unformatted text preview: dulo maximal o o (v´ase [12]). Denotemos por N un subm´dulo maximal de N . Aplicando esto a M e o resulta la cadena M M M · · · ; como M es artiniano, esta cadena se detiene en 0, es decir, esta es una cadena de composici´n de M . o ⇐) Sea N : N1 ≤ N2 ≤ · · · una cadena ascendente de subm´dulos de M . Sup´ngase que long (M ) = k . Afiro o mamos que en N hay m´ximo k + 1 subm´dulos diferentes. Sup´ngase lo contrario, a o o entonces en N existe una subcadena de la forma Ni1 Seg´n el corolario 1.2.5, la cadena u Ni2 ··· Nik+2 . 10 CAP´ ITULO 1. CONDICIONES DE CADENA N :0 Ni2 ··· Nik+1 M se puede refinar hasta una cadena de composici´n de M . Como long (N ) = k + 1 o entonces long (M ) ≥ k + 1, lo cual es contradictorio. As´ pues, M es noetheriano. ı De manera an´loga se establece que M es artiniano. a Ejemplo 1.3.3. (i) Z y Q no son m´dulos de longitud finita: Z es noetheriano pero o no artiniano; Q no cumple ninguna de las dos condiciones de cadena. (ii) Seg´n el ejemplo 1.2.2 (iv), long (Z60 ) = 4 . u (iii) Sea K un cuerpo y V un K -espacio vectorial de...
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This document was uploaded on 03/30/2014 for the course COM 01 at Universidad Nacional Autónoma de México.

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