Vii basta efectuar la prueba para dos ideales

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Unformatted text preview: ≥ 1 tal que I n = 0. El menor n con esta condici´n se denomina ´ o ındice de nilpotencia de I . Se presentan a continuaci´n ejemplos que ilustran las definiciones anteriores. o Ejemplo 3.1.2. (i) En un anillo local A los unicos idempotentes son los triviales, ´ 0 y 1. (ii) Z muestra que el rec´ ıproco del ejemplo (i) no es cierto, o en forma m´s genea ral, podemos tomar cualquier dominio. Z adem´s no posee elementos nilpotentes no a nulos. Como Z es noetheriano, sus nilideales coinciden con sus ideales nilpotentes 23 24 CAP´ ITULO 3. IDEMPOTENTES Y NILPOTENCIA (v´ase la proposici´n 3.1.3 m´s adelante), sin embargo, el unico ideal nilpotente es e o a ´ el nulo. (iii) Sea i∈I Ai el anillo producto de la familia {Ai }i∈I . N´tese que (ai ) ∈ o o i∈I Ai es idempotente si, y s´lo si, para todo i ∈ I , ai es idempotente de Ai . (iv) Del teorema de correspondencia de la teor´ general de anillos se obtiene ıa l f´cilmente que Zn es local si, y s´lo si, n = p , con p primo y l ≥ 2 (v´ase [11]). a o e k De aqu´ resulta que Zm tiene 2 idempotentes, donde k e...
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