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Unformatted text preview: ´ ´ MATEMATICAS BASICAS Autora: Margarita Ospina Pulido Edici´n: Jeanneth Galeano Pe˜aloza o n Oscar Guillermo Ria˜o n Universidad Nacional de Colombia Departamento de Matem´ticas a Sede Bogot´ a Enero de 2014 Universidad Nacional de Colombia Matem´ticas B´sicas a a Teorema del Binomio 1 / 19 Parte I Teorema del binomio Universidad Nacional de Colombia Matem´ticas B´sicas a a Teorema del Binomio 2 / 19 Teorema del binomio Potencias de un binomio (x + y )2 = (x + y )(x + y ) Universidad Nacional de Colombia Matem´ticas B´sicas a a Teorema del Binomio 3 / 19 Teorema del binomio Potencias de un binomio (x + y )2 = (x + y )(x + y ) = xx + xy + yx + yy Universidad Nacional de Colombia Matem´ticas B´sicas a a Teorema del Binomio 3 / 19 Teorema del binomio Potencias de un binomio (x + y )2 = (x + y )(x + y ) = xx + xy + yx + yy = x 2 + 2xy + y 2 Universidad Nacional de Colombia Matem´ticas B´sicas a a Teorema del Binomio 3 / 19 Teorema del binomio Potencias de un binomio (x + y )3 = (x + y )(x + y )(x + y ) Universidad Nacional de Colombia Matem´ticas B´sicas a a Teorema del Binomio 4 / 19 Teorema del binomio Potencias de un binomio (x + y )3 = (x + y )(x + y )(x + y ) Cada sumando se obtiene al hacer el producto de un elemento de cada factor. En nuestro caso: (x + y )3 = xxx + xxy + xyx + xyy + yxx + yxy + yyx + yyy Universidad Nacional de Colombia Matem´ticas B´sicas a a Teorema del Binomio 4 / 19 Teorema del binomio Potencias de un binomio (x + y )3 = (x + y )(x + y )(x + y ) Cada sumando se obtiene al hacer el producto de un elemento de cada factor. En nuestro caso: (x + y )3 = xxx + xxy + xyx + xyy + yxx + yxy + yyx + yyy Agrupando t´rminos semejantes tenemos: e (x + y )3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 Universidad Nacional de Colombia Matem´ticas B´sicas a a Teorema del Binomio 4 / 19 Teorema del binomio Potencias de un binomio (x + y )4 = (x + y )(x + y )(x + y )(x + y ) Universidad Nacional de Colombia Matem´ticas B´sicas a a Teorema del Binomio 5 / 19 Teorema del binomio Potencias de un binomio (x + y )4 = (x + y )(x + y )(x + y )(x + y ) = (x + y )(x + y )3 Universidad Nacional de Colombia Matem´ticas B´sicas a a Teorema del Binomio 5 / 19 Teorema del binomio Potencias de un binomio (x + y )4 = (x + y )(x + y )(x + y )(x + y ) = (x + y )(x + y )3 = xxxx + xxxy + xxyx + xxyy + xyxx + xyxy + xyyx Universidad Nacional de Colombia Matem´ticas B´sicas a a Teorema del Binomio 5 / 19 Teorema del binomio Potencias de un binomio (x + y )4 = (x + y )(x + y )(x + y )(x + y ) = (x + y )(x + y )3 = xxxx + xxxy + xxyx + xxyy + xyxx + xyxy + xyyx + xyyy + yxxx + yxxy + yxyx + yxyy + yyxx + yyxy Universidad Nacional de Colombia Matem´ticas B´sicas a a Teorema del Binomio 5 / 19 Teorema del binomio Potencias de un binomio (x + y )4 = (x + y )(x + y )(x + y )(x + y ) = (x + y )(x + y )3 = xxxx + xxxy + xxyx + xxyy + xyxx + xyxy + xyyx + xyyy + yxxx + yxxy + yxyx + yxyy + yyxx + yyxy + yyyx + yyyy Universidad Nacional de Colombia Matem´ticas B´sicas a a Teorema del Binomio 5 / 19 Teorema del binomio Potencias de un binomio (x + y )4 = (x + y )(x + y )(x + y )(x + y ) = (x + y )(x + y )3 = xxxx + xxxy + xxyx + xxyy + xyxx + xyxy + xyyx + xyyy + yxxx + yxxy + yxyx + yxyy + yyxx + yyxy + yyyx + yyyy Note que a cada uno de los sumandos de la potencia anterior lo precedemos de una x en el primer rengl´n y de una y en el segundo. o Universidad Nacional de Colombia Matem´ticas B´sicas a a Teorema del Binomio 5 / 19 Teorema del binomio Potencias de un binomio Agrupando t´rminos semejantes: e (x + y )4 = x 4 + 4x 3 y + 6x 2 y 2 + 4xy 3 + y 4 Universidad Nacional de Colombia Matem´ticas B´sicas a a Teorema del Binomio 6 / 19 Teorema del binomio Potencias de un binomio La forma en que hemos hecho los anteriores productos nos lleva a dos conclusiones: 1. Podemos encontrar una potencia fija del binomio de una manera sencilla si conocemos la anterior como lo hicimos en el caso de 3 a 4. A´n m´s: u a Se conoce una forma de encontrar los coeficientes de (x + y )n Universidad Nacional de Colombia Matem´ticas B´sicas a a Teorema del Binomio 7 / 19 Tri´ngulo de Pascal a Veamos c´mo se construye: o 1 1 Universidad Nacional de Colombia 1 Matem´ticas B´sicas a a Teorema del Binomio 8 / 19 Tri´ngulo de Pascal a Veamos c´mo se construye: o 1 1 1 Universidad Nacional de Colombia 1 2 1 Matem´ticas B´sicas a a Teorema del Binomio 8 / 19 Tri´ngulo de Pascal a Veamos c´mo se construye: o 1 1 1 1 Universidad Nacional de Colombia 1 2 3 1 3 1 Matem´ticas B´sicas a a Teorema del Binomio 8 / 19 Tri´ngulo de Pascal a Veamos c´mo se construye: o 1 1 1 1 1 Universidad Nacional de Colombia 1 2 3 4 1 3 6 1 4 Matem´ticas B´sicas a a 1 Teorema del Binomio 8 / 19 Tri´ngulo de Pascal a Veamos c´mo se construye: o 1 1 1 1 1 1 Universidad Nacional de Colombia 2 3 4 5 1 1 3 6 10 1 4 10 1 5 Matem´ticas B´sicas a a 1 Teorema del Binomio 8 / 19 Teorema del binomio Tri´ngulo de Pascal a Esta forma tiene un defecto: para encontrar los coeficientes de (x + y )25 tenemos que construir los 24 renglones anteriores. Universidad Nacional de Colombia Matem´ticas B´sicas a a Teorema del Binomio 9 / 19 Teorema del binomio Tri´ngulo de Pascal a Esta forma tiene un defecto: para encontrar los coeficientes de (x + y )25 tenemos que construir los 24 renglones anteriores. Busquemos otras alternativas. Universidad Nacional de Colombia Matem´ticas B´sicas a a Teorema del Binomio 9 / 19 Teorema del binomio Potencias de un binomio 2. Si no conocemos la expresi´n de la anterior potencia podemos o proceder como lo hicimos en la potencia 3 donde ignoramos la potencia 2. Universidad Nacional de Colombia Matem´ticas B´sicas a a Teorema del Binomio 10 / 19 Teorema del binomio Potencias de un binomio 2. Si no conocemos la expresi´n de la anterior potencia podemos o proceder como lo hicimos en la potencia 3 donde ignoramos la potencia 2. En este ultimo caso la clave est´ en dos observaciones: ´ a (a) Cada sumando se obtiene multiplicando un elemento x o y de cada uno de los factores. Universidad Nacional de Colombia Matem´ticas B´sicas a a Teorema del Binomio 10 / 19 Teorema del binomio Potencias de un binomio 2. Si no conocemos la expresi´n de la anterior potencia podemos o proceder como lo hicimos en la potencia 3 donde ignoramos la potencia 2. En este ultimo caso la clave est´ en dos observaciones: ´ a (a) Cada sumando se obtiene multiplicando un elemento x o y de cada uno de los factores. As´ en cada sumando, las suma de las potencias ı, de x mas las de y debe ser siempre n si estamos encontrando (x + y )n . Universidad Nacional de Colombia Matem´ticas B´sicas a a Teorema del Binomio 10 / 19 Teorema del binomio Potencias de un binomio 2. Si no conocemos la expresi´n de la anterior potencia podemos o proceder como lo hicimos en la potencia 3 donde ignoramos la potencia 2. En este ultimo caso la clave est´ en dos observaciones: ´ a (a) Cada sumando se obtiene multiplicando un elemento x o y de cada uno de los factores. As´ en cada sumando, las suma de las potencias ı, de x mas las de y debe ser siempre n si estamos encontrando (x + y )n . (b) Cuando agrupamos t´rminos semejantes el coeficiente de cada e sumando corresponde a la cantidad de veces que aparece el producto de r factores x por n − r factores y . Universidad Nacional de Colombia Matem´ticas B´sicas a a Teorema del Binomio 10 / 19 Teorema del binomio Potencias de un binomio ¿C´mo encontrar este coeficiente? o Universidad Nacional de Colombia Matem´ticas B´sicas a a Teorema del Binomio 11 / 19 Teorema del binomio Potencias de un binomio ¿C´mo encontrar este coeficiente? o Recordando nuestros conocimientos de conteo podremos saberlo. Universidad Nacional de Colombia Matem´ticas B´sicas a a Teorema del Binomio 11 / 19 Teorema del binomio Potencias de un binomio ¿C´mo encontrar este coeficiente? o Recordando nuestros conocimientos de conteo podremos saberlo. Tenemos en cada sumando n factores (lugares), Universidad Nacional de Colombia Matem´ticas B´sicas a a Teorema del Binomio 11 / 19 Teorema del binomio Potencias de un binomio ¿C´mo encontrar este coeficiente? o Recordando nuestros conocimientos de conteo podremos saberlo. Tenemos en cada sumando n factores (lugares), debemos escoger que r sean y (desde luego n − r ser´n x ), a Universidad Nacional de Colombia Matem´ticas B´sicas a a Teorema del Binomio 11 / 19 Teorema del binomio Potencias de un binomio ¿C´mo encontrar este coeficiente? o Recordando nuestros conocimientos de conteo podremos saberlo. Tenemos en cada sumando n factores (lugares), debemos escoger que r u sean y (desde luego n − r ser´n x ), luego el n´mero de sumandos con a y r x n−r son tantos como subconjuntos de r elementos en un conjunto de n elementos, es decir: Universidad Nacional de Colombia Matem´ticas B´sicas a a Teorema del Binomio 11 / 19 Teorema del binomio Potencias de un binomio ¿C´mo encontrar este coeficiente? o Recordando nuestros conocimientos de conteo podremos saberlo. Tenemos en cada sumando n factores (lugares), debemos escoger que r u sean y (desde luego n − r ser´n x ), luego el n´mero de sumandos con a y r x n−r son tantos como subconjuntos de r elementos en un conjunto de n elementos, es decir: n n! C (n, r ) que tambi´n se nota e y es igual a r !(n−r )! . r Universidad Nacional de Colombia Matem´ticas B´sicas a a Teorema del Binomio 11 / 19 Teorema del binomio Factoriales Para todo entero positivo n, se define n factorial como: n! = n(n − 1)(n − 2)(n − 3) · · · 3 · 2 · 1 Universidad Nacional de Colombia Matem´ticas B´sicas a a Teorema del Binomio 12 / 19 Teorema del binomio Factoriales Para todo entero positivo n, se define n factorial como: n! = n(n − 1)(n − 2)(n − 3) · · · 3 · 2 · 1 y definimos 0! = 1 Universidad Nacional de Colombia Matem´ticas B´sicas a a Teorema del Binomio 12 / 19 Teorema del binomio Factoriales Para todo entero positivo n, se define n factorial como: n! = n(n − 1)(n − 2)(n − 3) · · · 3 · 2 · 1 y definimos 0! = 1 Por ejemplo, 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24. Universidad Nacional de Colombia Matem´ticas B´sicas a a Teorema del Binomio 12 / 19 Teorema del binomio Potencias de un binomio Veamos algunos coeficientes en el desarrollo de (x + y )n : Universidad Nacional de Colombia Matem´ticas B´sicas a a Teorema del Binomio 13 / 19 Teorema del binomio Potencias de un binomio Veamos algunos coeficientes en el desarrollo de (x + y )n : ¿Cu´l es el coeficiente de x n = x n y 0 ? a Universidad Nacional de Colombia Matem´ticas B´sicas a a Teorema del Binomio 13 / 19 Teorema del binomio Potencias de un binomio Veamos algunos coeficientes en el desarrollo de (x + y )n : n n! ¿Cu´l es el coeficiente de x n = x n y 0 ? a = =1 0 0!(n − 0)! Universidad Nacional de Colombia Matem´ticas B´sicas a a Teorema del Binomio 13 / 19 Teorema del binomio Potencias de un binomio Veamos algunos coeficientes en el desarrollo de (x + y )n : n n! ¿Cu´l es el coeficiente de x n = x n y 0 ? a = =1 0 0!(n − 0)! ¿Cu´l es el coeficiente de x n−1 y ? a Universidad Nacional de Colombia Matem´ticas B´sicas a a Teorema del Binomio 13 / 19 Teorema del binomio Potencias de un binomio Veamos algunos coeficientes en el desarrollo de (x + y )n : n n! ¿Cu´l es el coeficiente de x n = x n y 0 ? a = =1 0 0!(n − 0)! n n! =n ¿Cu´l es el coeficiente de x n−1 y ? a = 1 1!(n − 1)! Universidad Nacional de Colombia Matem´ticas B´sicas a a Teorema del Binomio 13 / 19 Teorema del binomio Potencias de un binomio Veamos algunos coeficientes en el desarrollo de (x + y )n : n n! ¿Cu´l es el coeficiente de x n = x n y 0 ? a = =1 0 0!(n − 0)! n n! =n ¿Cu´l es el coeficiente de x n−1 y ? a = 1 1!(n − 1)! ¿Cu´l es el coeficiente de y n ? a Universidad Nacional de Colombia Matem´ticas B´sicas a a Teorema del Binomio 13 / 19 Teorema del binomio Potencias de un binomio Veamos algunos coeficientes en el desarrollo de (x + y )n : n n! ¿Cu´l es el coeficiente de x n = x n y 0 ? a = =1 0 0!(n − 0)! n n! =n ¿Cu´l es el coeficiente de x n−1 y ? a = 1 1!(n − 1)! n n! =1 ¿Cu´l es el coeficiente de y n ? a = n n!(n − n)! Universidad Nacional de Colombia Matem´ticas B´sicas a a Teorema del Binomio 13 / 19 Teorema del binomio Potencias de un binomio Desarrollemos el caso de (x + y )5 . Universidad Nacional de Colombia Matem´ticas B´sicas a a Teorema del Binomio 14 / 19 Teorema del binomio Potencias de un binomio Desarrollemos el caso de (x + y )5 . (x + y )5 Universidad Nacional de Colombia Matem´ticas B´sicas a a Teorema del Binomio 14 / 19 Teorema del binomio Potencias de un binomio Desarrollemos el caso de (x + y )5 . (x + y )5 = 55 54 5 32 x+ x y+ xy 0 1 2 Universidad Nacional de Colombia Matem´ticas B´sicas a a Teorema del Binomio 14 / 19 Teorema del binomio Potencias de un binomio Desarrollemos el caso de (x + y )5 . (x + y )5 = 55 54 5 32 x+ x y+ xy 0 1 2 5 23 5 55 + xy + xy 4 + y 3 4 5 Universidad Nacional de Colombia Matem´ticas B´sicas a a Teorema del Binomio 14 / 19 Teorema del binomio Potencias de un binomio Desarrollemos el caso de (x + y )5 . (x + y )5 = 55 54 5 32 x+ x y+ xy 0 1 2 5 23 5 55 + xy + xy 4 + y 3 4 5 = x 5 + 5x 4 y + 10x 3 y 2 + 10x 2 y 3 + 5xy 4 + y 5 Universidad Nacional de Colombia Matem´ticas B´sicas a a Teorema del Binomio 14 / 19 Teorema del binomio Potencias de un binomio Observamos una simetr´ en los coeficientes ¿a qu´ se debe? ıa e Universidad Nacional de Colombia Matem´ticas B´sicas a a Teorema del Binomio 15 / 19 Teorema del binomio Potencias de un binomio Observamos una simetr´ en los coeficientes ¿a qu´ se debe? ıa e Es lo mismo escoger r lugares para y que escoger r lugares para x . Universidad Nacional de Colombia Matem´ticas B´sicas a a Teorema del Binomio 15 / 19 Teorema del binomio Potencias de un binomio Observamos una simetr´ en los coeficientes ¿a qu´ se debe? ıa e Es lo mismo escoger r lugares para y que escoger r lugares para x . Es decir, el coeficiente de x n−r y r debe ser el mismo de x r y n−r . Universidad Nacional de Colombia Matem´ticas B´sicas a a Teorema del Binomio 15 / 19 Teorema del binomio Potencias de un binomio Observamos una simetr´ en los coeficientes ¿a qu´ se debe? ıa e Es lo mismo escoger r lugares para y que escoger r lugares para x . Es decir, el coeficiente de x n−r y r debe ser el mismo de x r y n−r . En t´rminos de combinatorios e n r = n! = r !(n − r )! Universidad Nacional de Colombia n n−r = n! (n − r )!(n − (n − r ))! Matem´ticas B´sicas a a Teorema del Binomio 15 / 19 Tri´ngulo de Pascal a El tri´ngulo de Pascal en t´rminos de combinatorios queda: a e 1 1 0 Universidad Nacional de Colombia 1 1 Matem´ticas B´sicas a a Teorema del Binomio 16 / 19 Tri´ngulo de Pascal a El tri´ngulo de Pascal en t´rminos de combinatorios queda: a e 1 2 0 Universidad Nacional de Colombia 1 0 2 1 1 1 2 2 Matem´ticas B´sicas a a Teorema del Binomio 16 / 19 Tri´ngulo de Pascal a El tri´ngulo de Pascal en t´rminos de combinatorios queda: a e 1 3 0 Universidad Nacional de Colombia 2 0 1 0 3 1 2 1 1 1 3 2 2 2 3 3 Matem´ticas B´sicas a a Teorema del Binomio 16 / 19 Tri´ngulo de Pascal a El tri´ngulo de Pascal en t´rminos de combinatorios queda: a e 1 4 0 Universidad Nacional de Colombia 3 0 2 0 4 1 1 0 3 1 2 1 4 2 1 1 3 2 2 2 4 3 3 3 Matem´ticas B´sicas a a 4 4 Teorema del Binomio 16 / 19 Tri´ngulo de Pascal a El tri´ngulo de Pascal en t´rminos de combinatorios queda: a e 1 5 0 Universidad Nacional de Colombia 4 0 3 0 5 1 2 0 4 1 1 0 3 1 5 2 2 1 4 2 1 1 3 2 5 3 2 2 4 3 3 3 5 4 Matem´ticas B´sicas a a 4 4 5 5 Teorema del Binomio 16 / 19 Teorema del binomio Propiedad La construcci´n del tri´ngulo de Pascal nos sugiere la siguiente propiedad o a de los combinatorios: Para todo n ≥ 1 y todo r con 0 < r ≤ n n+1 r Universidad Nacional de Colombia = n n + r −1 r Matem´ticas B´sicas a a Teorema del Binomio 17 / 19 Teorema del binomio Teorema del binomio Sean x y y n´meros y n un entero positivo, u n n (x + y ) = r =0 Universidad Nacional de Colombia n r n−r xy = r n r =0 n! x r y n −r r !(n − r )! Matem´ticas B´sicas a a Teorema del Binomio 18 / 19 Teorema del binomio Ejercicios 1 2 Encuentre el coeficiente de x 3 y 7 en el desarrollo de (x + y )10 . Encuentre el coeficiente de y 3 y la potencia de x en el desarrollo de (4x − 3y )11 Universidad Nacional de Colombia Matem´ticas B´sicas a a Teorema del Binomio 19 / 19 ...
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