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Límites y Continuidad1- SigloXXI -JVGRegresar al índiceCÁLCULO EN VARIAS VARIABLES1ESPACIOS EUCLÍDEOS de DIMENSIÓN FINITA.En este capítulo estudiamos el espacio euclídeo n-dimensional, espacio quenserá la base de todo el desarrollo posterior. Muchos de los resultados que damos sepueden establecer, mutatis mutandis, en el contexto más general de los espacios métricos.1.1.La Geometría Euclídea del EspacionYa hemos visto quetienede espacio vectorial con lasnestructura algebraicaoperaciones deydefinidas comosumamultiplicación por un escalarxy³³±²±²±²x, x, …, xy, y, …, yxy, xy, …, xyy""""2n2n22nnααααα··x, x, …, xx , x , …, xrespectivamente.x³³±²±²""2n2nTambién vimos que lade dicho espacio(que incluye losestructura geométricanconceptos de distancia, ángulo y ortogonalidad) se debe al hecho que ase le puedendotar de un producto interior. La definición de dicho concepto en un espacio vectorialgeneralE es la siguiente:Definición :"Sea E un espacio vectorial real, unes una funciónproducto interior en Ede E×E enque a cada par de vectores,le asocia el número real,, satisfaciendox yx y¡las siguientes propiedades:,,,PI.xy zx zy z"¡¡¡œ,,PI.2x yx y¡¡--œ,,PI.3x yy x¡¡œ,si xOPI.4x x¡ !ÁEYa comprobamos que six, x, …, x,y, y, …, yentonces la expresiónxyœœ±²±²""2n2n¡³x y,x yx yx yx y³œ â inii22nnœ"""define un producto interior enque será el que utilizaremos en dicho espacio, aunquenes posible definir otros productos interiores en.nEn el espacio ECa, bde las funciones reales continuas en el intervalo a, b ,œ±²cdcdes fácil comprobar que¡± ² ± ²f g,f t g t dt³'abdefine un producto interior.
Límites y Continuidad2- SigloXXI -JVGRegresar al índiceCÁLCULO EN VARIAS VARIABLESUn producto interior,en un espacio vectorial E da lugar a una noción de¡··longitud de un vectornormaE, llamada su, y definida comox,l lÉ¡xx x. .³±²" " "En general, unaen un espacio vectorial E es una funciónde Enormaxx{l len [, +[ que satisface las siguientes propiedades:!N.xx"Ol lœ !œ×EN.2xxllk kl lαααœaN.3xyxy()lll ll lŸdesigualdad triangularAl par E,se le denomina.±²l lespacio vectorial normado±²Veamos quedefine una norma. Evidentemente,satisface las±²±²" " "" " ". .. .propiedadesy. Para demostrar que también cumple la desigualdad triangularN.N.2"necesitamos probar primero la siguiente desigualdad:La Desigualdad de Cauchy-Schwarz.Si,es un producto interior en el espacio¡vectorial E yestá definida por. Entonces:l l±²" " ". .¸¸¡l ll lx yxyx y,,EŸaDem.:Podemos suponer queOeO. Si:xyÁÁEEuxvyœœ""l ll lxyyentonces. Con lo cual:l ll luvœœ "! Ÿœœœlll ll l¡¡¡uvuv uvuu vvu v222,2,22,.

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Term
Spring
Professor
N/A
Tags
Punto, Curva, Espacio vectorial, Espacio eucl deo, Funci n continua

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