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BÉCÉAS 2015 Banque d’Épreuves des Concours des Écoles d’Actuariat et Statistique Session 2015 Épreuve de mathématiques Durée : 4h L’objet du problème est l’étude du nombre de records d’une permutation via la suite de variables aléatoires ( R n ) n 2 I N § introduite dans la partie II. La partie III utilise les notations et des résultats de la partie II. Mathématiques mardi 19 mai, matin Page 1/5
BÉCÉAS 2015 Partie I Une distance entre lois de variables aléatoires Toutes les variables aléatoires de cette partie sont définies sur le même espace probabi- lisé ( , T , P ). 1. Soit X , Y et Z trois variables aléatoires à valeurs dans I N. a) Justifier la convergence de la série de terme général Ø Ø Ø P ([ X = n ]) ° P ([ Y = n ]) Ø Ø Ø . On note d ( X , Y ) = 1 2 + 1 X n = 0 ≥Ø Ø Ø P ([ X = n ]) ° P ([ Y = n ]) Ø Ø Ø ¥ . b) Que dire des variables X et Y quand d ( X , Y ) = 0 ? Donner un exemple simple de deux variables X et Y distinctes et telles que d ( X , Y ) = 0. c) Prouver l’inégalité : d ( X , Z ) d ( X , Y ) + d ( Y , Z ). 2. a) On pose A = n k 2 I N; P ([ X = k ]) P ([ Y = k ]) o . Vérifier l’égalité : d ( X , Y ) = Ø Ø Ø P ([ X 2 A ]) ° P ([ Y 2 A ]) Ø Ø Ø . b) Soit B une partie de I N. Prouver l’inégalité : Ø Ø Ø P ([ X 2 B ]) ° P ([ Y 2 B ]) Ø Ø Ø d ( X , Y ). On pourra faire intervenir les parties B \ A et B \ A c . 3. Soit p 2 [0,1], X une variable suivant la loi de Bernoulli de paramètre p et Y une va- riable suivant la loi de Poisson de paramètre p . a) Justifier, pour tout réel x , l’inégalité : e x 1 + x . b) Établir l’égalité d ( X , Y ) = p (1 ° e ° p ) et en déduire la majoration d ( X , Y ) p 2 . Dans la fin de cette partie, on considère un entier n au moins égal à 3, un entier N > n , et on note I la matrice identité de M N ( R ) et R la matrice de M N ( R ) dont tous les coefficients sont nuls sauf ceux de la sur-diagonale qui valent 1, c’est-à-dire R = 0 B B @ 0 1 (0) . . . . . . (0) . . . 1 0 1 C C A . On considère une n -liste ( p 1 , p 2 ,..., p n ) de réels de [0,1], n variables aléatoires X 1 , X 2 ,..., X n (resp. Y 1 , Y 2 ,..., Y n ), indépendantes suivant des lois de Bernoulli (resp. Poisson) de para- mètres respectifs p 1 , p 2 ,..., p n .

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