Finalmente passou a tentativa de representar a orbita

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Finalmente, passou `a tentativa de representar a ´orbita de Marte com uma oval, e rapidamente descobriu que uma elipse ajustava muito bem os dados. A posi¸c˜ ao do Sol coincidia com um dos focos da elipse. Ficou assim explicada tamb´ em a trajet´oria quase circular da Terra, com o Sol afastado do centro. 10.2.1 Propriedades das elipses Em qualquer ponto da curva, a soma das distˆancias desse ponto aos dois focos ´ e constante. Sendo F e F os focos, P um ponto sobre a elipse, e a o seu semi-eixo maior, ent˜ ao: FP + F P = constante = 2 a 74
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y x a F c = ae a a b Quanto maior a distˆancia entre os dois focos, maior ´ e a excentricidade (e) da elipse. Sendo c a distˆancia do centro a cada foco, a o semi-eixo maior, e b o semi-eixo menor, a excentricidade ´ e definida por; e = c a = r a 2 - b 2 a 2 a que quando o ponto est´a exatamente sobre b temos um triˆangulo retˆ angulo, com a 2 = b 2 + c 2 . Se imaginamos que um dos focos da ´orbita do planeta ´ e ocupado pelo Sol, o ponto da ´orbita mais pr´oximo do Sol ´ e chamado peri´ elio, e o ponto mais distante ´ e chamado af´ elio. A distˆancia do peri´ elio ao foco ( R p ) ´ e: R p = a - c = a - a · e = a (1 - e ) e a distˆancia do af´ elio ao foco ( R a ) ´ e: R a = a + c = a + a · e = a (1 + e ) Equa¸c˜ ao da elipse em coordenadas polares Uma elipse ´ e por defini¸c˜ ao um conjunto de pontos eq¨uidistantes de dois focos separados por 2 ae , onde a ´ e o semi-eixo maior e e a excen- tricidade. 75
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1 θ y x 2a c 2b P(x,y) r r ae F Seja um ponto P(r, θ ) ou P(x,y) sobre a elipse, onde θ ´ e chamado de anomalia verdadeira. Pela lei dos cossenos: r 2 1 = r 2 + (2 ae ) 2 + 2 r (2 ae ) cos θ. Por defini¸c˜ ao de elipse, r + r 1 2 a, ou seja: r 1 = 2 a - r, (2 a - r ) 2 = r 2 + 4 a 2 e 2 + 4 rae cos θ, 4 a 2 + r 2 - 4 ar = r 2 + 4 a 2 e 2 + 4 rae cos θ, a 2 (1 - e 2 ) = ar (1 + e cos θ ) , e finalmente: r = a (1 - e 2 ) (1 + e cos θ ) . ´ Area da elipse Em coordenadas cartesianas: r 2 1 = ( x + ae ) 2 + y 2 . ( a ) r 2 = ( x - ae ) 2 + y 2 , ( b ) 76
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Subtraindo-se (a) - (b) e usando r = 2 a - r 1 , temos: r 1 = a + ex. ( c ) Levando-se em conta que o semi-eixo menor ´ e dado por b 2 = a 2 (1 - e 2 ), o que pode ser facilmente derivado pelo teorema de Pit´agoras colocando-se o ponto P(r, θ ) em θ = 90 o , e substituindo-se (c) em (a), temos a equa¸c˜ ao de uma elipse em coordenadas cartesianas: x a · 2 + y b · 2 = 1 , ou x = a r 1 - y b · 2 . A ´area da elipse ´ e dada por: A = 4 Z b 0 dy Z x o dx. A = 4 Z b 0 a r 1 - y b · 2 dy, Substituindo-se y = b sen z , e dy = b cos z dz, A = 4 ab Z π/ 2 0 p 1 - (sen z ) 2 cos z dz e, como sen 2 z + cos 2 z = 1, logo 1 - sen 2 z = cos 2 z , resulta: A = 4 ab Z π/ 2 0 cos 2 z dz. Como Z π/ 2 0 cos 2 z dz = π/ 4 , A = πab. 77
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10.2.2 As trˆ es leis 1. Lei das ´orbitas el´ ıpticas (1609): a ´orbita de cada planeta ´ e uma elipse, com o Sol em um dos focos. Como conseq¨uˆ encia da ´orbita ser el´ ıptica, a distˆancia do Sol ao planeta varia ao longo de sua ´orbita. 2. Lei da ´areas (1609): a reta unindo o planeta ao Sol varre ´areas iguais em tempos iguais. O significado f´ ısico dessa lei ´ e que a velocidade orbi- tal n˜ao ´ e uniforme, mas varia de forma regular: quanto mais distante o planeta est´a do Sol, mais devagar ele se move. Dizendo de outra maneira, essa lei estabelece que a velocidade areal ´ e constante .
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