Por exemplo vamos analisar o algoritmo que dado um

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Por exemplo, vamos analisar o algoritmo que, dado um vetor de tamanho n, encontra o seu maior elemento. Os passos em que estamos interessados são as comparações (<, <=, >, >=, ==, !=). Isto é, queremos saber quantas comparações teremos. Para encontrar o maior elemento, usamos todos os elementos do vetor uma vez e fazemos n-1 comparações. Então dizemos que a complexidade deste algoritmo é O(n). Um dos algoritmos para ordenar um vetor toma o maior elemento e o coloca na última posição. Então o algoritmo chama a si mesmo para ordenar os primeiros n-1 elementos do vetor. Então, o número de comparações feitas é: n-1 para encontrar o maior elemento n-2 para encontrar o segundo maior elemento n-3 para encontrar o terceiro maior elemento ... 1 para encontrar o maior dentre os dois últimos elementos Assim, o total de comparações é (n-1) + (n-2) + ... + 1 = (1 + (n-1))(n- 1)/2 = (n 2 - n)/2 = O(n 2 ) Em geral, não se especifica o significado da complexidade (número de comparações, número de testes, visitas a vértices, etc) porque este significado pode ser deduzido pelo contexto. Por exemplo, quando dizemos que um algoritmo para ordenação é O(nlog n) , estamos nos referindo a número de comparações. Se um algoritmo para grafos possuir complexidade O ( E ), (considerando um grafo G (V, E) como entrada), então cada aresta será visitada um número constante de vezes. Não interessa quantas vezes (um, dois, … ), desde que seja um número que 12
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independe do número de vértices e arestas do grafo. As barras em E indicam a cardinalidade do conjunto E, que é o seu número de elementos (número de arestas). Vejamos a complexidade dos algoritmos vistos até agora. DFS: Cada aresta é visitada duas vezes, uma de cada vértice a que ela é adjacente: 1 2 Então, o número de visitas é 2 E . O grafo pode ser desconectado e o número de subgrafos é no máximo igual ao número de arestas, V . Então a complexidade do algoritmo é O ( E + V ). BFS: O mesmo raciocínio do DFS. Complexidade O ( E + V ). Os algoritmos cuja complexidade são da forma O (n k ), k constante, são chamados de polinomiais e são considerados eficientes. Algoritmos com complexidade O (k n ), k constante, são chamados exponenciais. Exemplo: O (1), O (n 2 ), O (n 3 ), O ( V 3 + E 3 ), O (n) polinomiais O (2 n ), O (3 n ) exponenciais Em geral, algoritmos exponenciais são muito lentos para serem usados na prática. Veja a tabela abaixo que mostra o tempo em segundos para executar diversos algoritmos (cujas complexidades são dadas) considerando-se n = 1000 e que o computador executa 1000 passos do algoritmo por segundo. Complexidade log 2 n n n log 2 n n 1.5 n 2 n 3 1 . 1 n tempo (seg) 0 . 01 1 10 32 1000 1000000 10 39 Algoritmos Probabilísticos Problema: Dado um conjunto de números x 1 , x 2 , … x n , selecione um elemento que é maior ou igual a n/2 elementos do conjunto.
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