Ao se pode escrever uma simples expressao entre a

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ao se pode escrever uma simples express˜ao entre a produ¸c˜ ao de energia nu- clear, ε , com a temperatura e a densidade. Entretanto, em alguns intervalos de energia, e para fins did´aticos, pode-se escrever: ε = ε 0 ρ n T m , (23.264) onde n e m s˜ao expoentes determinados pelo tipo de rea¸c˜ ao dominante. Por exemplo, para estrelas com massa inferior `a massa do Sol, o processo prin- cipal para a convers˜ ao de hidrogˆ enio em h´ elio ´ e o ciclo p-p. Para estrelas mais massivas do que o Sol, o processo dominante ´ e o ciclo CNO, em que o carbono, nitrogˆ enio e oxigˆ enio fazem o papel de catalistas da convers˜ ao. Essas rea¸c˜ oes ocorrem a temperaturas de alguns milh˜oes de graus, e densi- dades entre 1 e 100 g / cm 3 . Nesses casos, as taxas de rea¸c˜ oes nucleares s˜ao tais que n=1 e m=4 para o ciclo p-p, e n=1, m=15 para o ciclo CNO. Ap´os a transforma¸c˜ ao de hidrogˆ enio em h´ elio, o n´ucleo se condensa e esquenta, e a temperaturas acima de 10 8 K, efetivamente combina trˆ es n´ucleos de h´ elio em um n´ucleo de 12 C, com n=2 e m=40. 23.20.1 Se¸c˜ ao de choque e taxa de rea¸c˜ ao O equil´ ıbrio energ´ etico nos d´a a energia liberada em cada rea¸c˜ ao nuclear; se considerarmos a rea¸c˜ ao gen´ erica a + X -→ Y + b (23.265) o princ´ ıpio de conserva¸ ao de energia demanda a igualidade: E aX + ( M a + M X ) c 2 = E bY + ( M b + M Y ) c 2 (23.266) onde E aX ´ e a energia cin´ etica do centro de massa de a e x , e E bY ´ e energia cin´ etica do centro de massa de b e Y . Com a energia liberada por rea¸c˜ ao, E liberada = E bY - E aX = [( M a + M X ) - ( M b + M Y )] c 2 , e com o n´umero de rea¸c˜ oes por unidade de volume por segundo, podemos calcular a energia liberada por unidade de volume por segundo. Para isso, precisamos definir a se¸c˜ ao de choque da rea¸c˜ ao, σ . A se¸c˜ ao de choque ´ e uma 386
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medida da probabilidade de ocorrˆ encia da rea¸c˜ ao, por par de part´ ıculas. Na nossa rea¸c˜ ao gen´ erica, em que um n´ucleo X ´ e bombardeado por um fluxo uniforme de part´ ıcula a , a se¸c˜ ao de choque ´ e definida como: σ ( cm 2 ) = n´umero de rea¸c˜ oes/n´ucleo X/unidade de tempo n´umero de part´ ıculas incidentes/cm 2 /unidade de tempo O nome se¸c˜ ao de choque adv´ em da unidade, ´area e porque o n´umero de rea¸c˜ oes pode ser calculado assumindo-se que o n´ucleo X tem uma ´area σ e que uma rea¸c˜ ao ocorre sempre que uma part´ ıcula a atinge aquela ´area. Supondo que o n´ucleo X tem uma densidade N X , a taxa de rea¸c˜ ao por unidade de volume ser´a dado pelo produto σN X e pelo fluxo de part´ ıculas a . Supondo que o fluxo de part´ ıculas a ´ e dado pela transla¸c˜ ao uniforme, com velocidade v , de part´ ıculas com densidade N a , ou seja, o fluxo ´ e vN a . A taxa de rea¸c˜ oes ser´a, ent˜ ao, dada por r = σ ( v ) vN a N X 1 1 + δ aX (23.267) onde δ aX ´ e o delta de Kronecker [Leopold Kronecker (1823-1891)] ( δ aa = 1, δ aX = 0, se a = X ). Este ´ultimo fator leva em conta que n˜ao devemos contar duplamente as part´ ıculas idˆ enticas. A velocidade v ´ e a velocidade relativa entre as part´ ıculas a e X . Se o g´as estiver em equil´ ıbrio termodinˆamico, existir´a um espectro de velocidades φ ( v ), definido de modo que Z 0 φ ( v ) dv = 1 (23.268) Nesse caso, φ ( v ) dv
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