11 si r y r son las distancias desde un punto x y de

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11. Si r, y r, son las distancias desde un punto (x, y) de una elipse a sus focos, demostrar que la ecuación r, + r, = constante (que satisfacen esas distancias) implica la relación siendo T el vector unitario tangente a la curva. Interpretar geométricamente ese resul- tado, y con ello demostrar que la tangente forma ángulos iguales con las rectas que unen (x, y) a los focos. 12. Si 'i1 I(x, y, z) es siempre paralela a xi + yi + zk, demostrar que I debe tomar valores iguales en los puntos (0,0, a) y (0,0, -a). 8.18 Diferenciales de campos vectoriales La teoría de la diferenciación para campos vectoriales es una extensión directa de la teoría análoga para campos escalares. Sea f: S ~ R'" un campo vectorial definido en un subconjunto S de R". Si a es un punto interior de S e y un vector cualquiera de R" definimos la derivadaf'(a; y) mediante la fórmula f'(a; y) = lirnf(a + hy) - f(a) , k-O h siempre que tal límite exista. La derivadaf'(a; y)es un vector de R".
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Diferenciales de campos vectoriales 329 Designemos con fk el k-ésimo componente de f Observemos que la derivada fea; y) existe si y sólo si fí, (a; y) existe para cada k = 1,2, ... , m, en cuyo caso tenemos m f'(a;y) = (f{(a;y), ... ,f;"(a;y» = 2J~(a;y)ek' k~l donde e k es el k-ésimo vector coordenado unidad. Decimos que f es diferenciable en un punto interior a si existe una transfor- mación lineal tal que (8.16) fea + v) =f(a) + Ta(v) + [u] E(a, v), dondeE(a, v) -+ Ocuando v -+ O. La fórmula de Taylor de primer orden (8.16) es válida para todo v tal que [u] < r para un cierto r > O. El término E(a, v) es un vector de R'". La transformación lineal T¿ se llama diferencial total o simple- mente diferencial de f en a. Para los campos escalares se demostró que Ta(y) es el producto escalar del vector gradiente Vf(a) por y. Para los campos vectoriales demostraremos que Ta(y) es un vector cuyo componente k-ésimo es el producto escalar Vfk(a) . y. TEOREMA 8.9. Supongamos que f es dijerenciable en a con diferencial T a . Existe entonces la derivadaf'(a; y)para todo a de R", y tenemos (8.17) Además, si f = (/1' ... , fm) y si y = (Y1, •.• , Y,n), tenemos m (8.18) Ta(y) = L Vfk(a) .y e k = (Vfl(a) . y, ... , Vfm(a) .y). k~l Demostración. Razonemos como en el caso escalar. Si y = O, entonces I' (a; y) = O Y T a ( O) = O. Por consiguiente podemos suponer que y =;6 O. To- mando v = hy en la fórmula de Taylor (8.16) tenemos fea + hy) - fea) = Ta(hy) + Ilhyll E(a, v) = hTa(y) + Ihl lIyll E(a, v). Dividiendo por h y haciendo que h ~ O obtenemos (8.17). Para demostrar (8.18) basta observar que f'(a; y) = I f~(a; y) e k = I Vfia) . Y e k k=l k=l
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330 Cálculo diferencial en campos escalares y vectoriales La ecuación (8.18) puede también escribirse en forma más sencilla como un producto matricial, siendo Df(a) la matriz m x n cuya fila k-ésima es Vh(a), e y una matriz columna n X 1. La matriz Df(a) se llama matriz jacobiana de'f en a. Su elemento kj es la derivada parcial Djh(a). Así pues, tenemos - Ddl(a) Ddl(a) Dnfl(a) Dd2(a) Dd2(a) D n f2(a) Df(a) = _Ddm(a) Ddm(a) ...
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