3 hallar los puntos x y y las direcciones para las

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3. Hallar los puntos (x, y) y las direcciones para las que la derivada direccional de f(x, y) = 3x' + y2 tiene el valor máximo, si (x, y) está eh el círculo x' + y' = 1. 4. Un campo escalar diferenciable f tiene, en el punto (1,2) las derivadas direccionales +2 en dirección al punto (2,2) Y -2 en dirección al punto (1,1). Determinar el vector gradiente en (1,2) Y calcular la derivada direccional en dirección al punto (4,6). 5. Hallar los valores de las constantes a, b y e tales que la derivada direccional de it», y, z) = axy' .+ byz + ez'x 3 en el punto (1,2, -1) tenga el valor máximo 64 en la dirección paralela al eje z. . 6. Dado un campo escalar diferenciable en un punto a de R'. Supongamos que f' (a; y) =1 Y i' (a; z) = 2, siendo y = 2; + 3j y z = ; + i. Hacer un gráfico mostrando el conjunto de todos los puntos (x, y) para los que f' (a; xi + yi) == 6. Calcular también el grao diente Vf(a). 7. Sean f y g dos campos escalares diferenciables en un conjunto abierto S. Deducir las siguientes propiedades del gradiente: - a) grad f = O si f es constante en S. b) grad (f + g) = grad f + grad g. c) grad (e/) = e grad f si e es constante. d) grad (fg) = f grad g + g grad f. d) f(x,y, z) = x 2 - y2 + 2z 2 . e) f(x, y, z) = log (x 2 + 2 y2 - 3z 2 ). f) [tx, y, z) = xv' . siguientes campos escalares en los puntos ( l) g gradl- fgradg e) grad g = g2 en los puntos en los que g;z!' O. 8. En R 3 consideremos r(x,y, z) = xl + yi + zk , y sea r(x,y, z) = Ilr(x,y, z)ll.
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Regla de la cadena para derivadas de campos escalares 321 a) Demostrar que \1 r(x, y, z) es un vector unidad en la dirección de r (x, y, z). b) Demostrar que \1 (r n ) = nr":' r si n es un entero positivo. [Indicación: Utilizar el ejercicio 7 d).] c) ¿Es válida la fórmula del apartado b) cuando n es entero negativo o cero? d) Hallar un campo escalar 1 tal que \1 1 = r . 9. Supongamos que 1 es diferenciable en cada punto de una n-bola B(a). Si f' (x; y) =0 para n vectores independientes YI' ... , Y n y para todo x en B(a), demostrar que f es constante en B(a). 10. Supongamos que 1 es diferenciable en cada punto de una n-bola B(a). a) Si \1 f(x) = O para todo x de B(a), demostrar que 1 es constante en B(a). b) Si I(x):$ f(a) para todo x de B(a), demostrar que \1 I(a) = O. 11. Considerar las seis proposiciones que siguen relativas a un campo escalar 1: S ~ R, siendo S S R" y a un punto interior a S. a) 1 es continuo en a. b) 1 es diferenciable en a. e) f' (a; y) existe para todo y de R". d) Existen todas las derivadas parciales de 1 en un entorno de a y son continuas en a. e) \11(a) = O. f) f(x) = [Ix - all para todo x de R". a b e d e f ------------- En una tabla parecida a la indicada aquí, marcar con una T el cuadrado correspondiente si la proposición de la fila (x) implica siempre la proposición de la columna (y). Por ejemplo, si (a) implica siempre (b), poner T en el se- gundo cuadrado de la primera fila. La diagonal principal ha sido ya marcada. a T ______ ---- --1- b T ______ ---- --1- e T ____ --------1- d T ------------ - e T ------------ - f T 8.15 Regla de la cadena para derivadas de campos escalares En la teoría de la derivación en una dimensión, la regla de la cadena naos permite calcular la derivada de una función compuesta g(t) = f[r(t)] mediante la fórmula g'(t) =f'[r(t)]· r'(t).
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