Uno de los vértices de un cuadrado con centro en el origen tiene coordenadas 1

Uno de los vértices de un cuadrado con centro en el

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Uno de los vértices de un cuadrado con centro en el origen tiene coordenadas ( 1, 3). Utiliza los números complejos para determinar los otros vértices y su área. z 2 = − 1 + 3 i Elevamos a la cuarta: z = 100 73° 44' 23,26'' Calculamos el resto de las raíces: Si k = 0 x 1 = 18° 26' 5,82'' = 3 + i Si k = 2 x 3 = 198° 26' 5,81'' Si k = 1 x 2 = 108° 26' 5,81'' Si k = 3 x 4 = 288° 26' 5,81'' z 1 = (3, 1) y z 2 = ( 1, 3) Hallamos la longitud del lado: Por tanto, el área es 20. Un pentágono regular, con centro en el origen de coordenadas, tiene en ( 3, 2) uno de sus vértices. Halla los demás vértices usando números complejos. z 2 = − 3 2 i Elevamos a la quinta: z = 213° 41' 24,2'' Calculamos el resto de las raíces: Si k = 0 x 1 = 42° 44' 16,85'' Si k = 2 x 3 = 186° 44' 16,85'' Si k = 1 x 2 = 114° 44' 16,85'' Si k = 3 x 4 = 258° 44' 16,85'' 13 13 13 13 13 213 41 24 2 360 5 ° ° ' , '' + k 13 5 082 ( ) ( ) − − + = 1 3 3 1 20 2 2 10 10 10 10 100 10 40 4 40 360 4 = + º k ° 081 080 ( ) ( ) − − + = 2 3 5 1 41 2 2 3 1 10 2 2 + = ( ) + = 2 5 29 2 2 079 5 1 3 6
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189 4 SOLUCIONARIO ¿Qué número complejo forma un triángulo equilátero con su conjugado y con 5? Sea L la longitud del lado del triángulo equilátero, uno de los vértices es el complejo a + bi y el otro vértice es su conjugado a bi . b = L sen 30° = a = − 5 + L cos 30° = Todos los triángulos tienen 5 como el vértice situado más a la izquierda. Si el vértice 5 estuviera situado a la derecha del triángulo, las coordenadas de los otros vértices serían: b = L sen 30° = a = − 5 L cos 30° = Las cuatro raíces cuartas de 4.096 describen un cuadrado. Calcula su área. Además, sus raíces cúbicas describen un triángulo equilátero. Determina su área. Las raíces cuartas de 4.096 son: z 1 = 8 45° = z 3 = 8 225° = z 2 = 8 135° = z 4 = 8 315° = Calculamos el lado: Por tanto, el área es de128. Las raíces cúbicas de 4.096 son: z 1 = 16 60° = z 3 = 16 300° = z 2 = 16 180° = ( 16, 0) Se forma un triángulo cuya base mide 16 y su altura es de 24. Por tanto, su área mide . El número complejo 3 + 5 i es una de las raíces cúbicas de z . Halla las otras dos raíces. z 1 = 3 + 5 i = 59° 2' 10,48'' Las raíces tendrán el mismo módulo. Calculamos el resto de las raíces: Si k = 0 x 1 = 59° 2' 10,48'' Si k = 2 x 3 = 299° 2' 10,48'' Si k = 1 x 2 = 179° 2' 10,48'' Escribe una ecuación de segundo grado cuyas soluciones sean 3 + i y 3 i . Haz lo mismo con 2 5 i y 2 + 5 i . ( x 3 + i )( x 3 i ) = 0 x 2 3 x ix 3 x + 9 + 3 i + ix 3 i + 1 = 0 x 2 6 x + 10 = 0 ( x + 2 + 5 i )( x + 2 5 i ) = 0 x 2 + 2 x 5 ix + 2 x + 4 10 i + 5 ix + 10 i + 25 = 0 x 2 + 4 x + 29 = 0 086 35 35 35 35 59 2 10 48 360 3 ° ° ' , '' + k 35 085 192 3 8 8 3 , ( ) 8 8 3 , ( ) 4 2 4 2 4 2 4 2 8 2 2 2 + ( ) + ( ) = 4 2 4 2 , ( ) ( ) 4 2 4 2 , ( ) 4 2 4 2 , 4 2 4 2 , ( ) 084 − − 5 3 2 L L 2 − + 5 3 2 L L 2 083
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190 Números complejos Demuestra que si una ecuación de segundo grado cuyos coeficientes son números reales tiene dos raíces complejas, estas deben ser números conjugados.
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