Probabilitas tidak adanya kelahiran dalam satu hari tertentu adalah sebesar
P
0
(1) =
0
!
0
)
1
7
,
205
(
1
7
,
205
0
≈
-
X
e
X
anggaplah bahwa kita ingin menghitung probabilitas pengeluaran 45 akte kelahiran
diakhir periode yang terdiri dari 3 jam dengan diketahui bahwa 35 akte dikeluarkan dalam
2 jam pertama. Kita amati bahwa karena kelahiran terjadi sesuai proses poisson,
probabilitas yang diperlukan berkurang 45 – 35 = 10 kelahiran dalam satu ( = 3 –2 )jam.
Dengan demikian diketahui
= 60/7 =8.57 kelahiran/jam, kita peroleh
P
10
(1) =
11172
,
0
!
0
)
1
57
,
8
(
1
57
,
8
0
≈
-
X
e
X
Rumus antrian serupa dengan yang diberikan diatas umumnya
melibatkan perhitungan
yang membosankan, karena itu perhitungan ini digunakan program komputer yang bias
memodel kan masalah berikut. Hasil yang akan dilihat adalah p
n
(t) dan kumulatif p
n
(t)
untuk berbagai nilai n.
8.
Model Kematian murni
Pertimbangan situasi penyimpanan N unit barang diawal minggu untuk memenuhi
permintaan pelanggan selama
minggu tersebut. Jika kita mengasumsikan
bahwa
permintaan perlanggan terjadi dengan laju
unit perhari dan bahwa proses permintaan
tersebut sepenuhnya acak, probabilitas untuk memperoleh n unit yang tersisa dalam
sediaan setelah waktu t diketahui dengan distribusi truncated poisson berikut :
P
n
(t) =
!
)
(
)
(
n
N
e
t
t
n
N
-
-
-
μ
μ
, n = 1, 2, …, N
P
n
(t) = 1-
∑
=
N
n
n
t
P
1
)
(
Contoh
Diawal setiap minggu, 15 unit barang sediaan disimpan untuk dipergunakan selama
seminggu tersebut. Penarikan dari sediaan hanya terjadi selama 6 hari pertama (kantor
ditutup pada hari minggu) dan mngikuti distribusi poison dengan mean 3 unit/hari. Ketika
tingkat sediaan mencapai 5 unit, pesanan baru sebesar15 unit diajukan untuk dikirimkan
pada awal minggu berikutnya. Karena sifat barang tersebut, semua unit yang tersisa
diakhir minggu dibuang.
Jawab
Kita dapat menganalisis situasi ini dengan sejumlah cara. Seperti kita mengenali bahwa
laju konsumsi adalah
μ
= 3 unit per hari. Anggaplah kita berminat untuk menghitung
probabilitas 5 unit(titik pemesanan ulang) di hari t, yaitu
P
5
(t) =
!
)
5
15
(
)
3
(
3
5
15
-
-
-
t
e
t
, t = 1, 2, 3, …, 6
Dwijanto, Riset Operasi halaman 104
Sebagai ilustrasi dari perhitungan ini, hasil yang diperoleh secara komputer : dengan
menggunakan
μ
t = 3, 6, 9, …dan 18.
-t (hari)
1
2
3
4
5
6
t
μ
3
6
9
12
15
18
P
5
(t)
0.0008
0.0413
0.1186
0.1048
0.0486
0.015
Catatan bahwa
P
5
(t) mewakili probabilitas pengajuan pemesanan ulang pada hari t.
Probabilitas ini memuncak di t = 3 daan lalu menurun sementara kita berlanjut melewati
minggu tersebut. Jika kita berminat untuk menghitung probabilitas pemesanan ulang
sebelum dan pada hari t, kita harus menghitung probabilitas kumulatif untuk memiliki 5
unit atau kurang pada hari t, yaitu :
5
≤
n
P
(t) = p
0
(t) + p
1
(t) + …+ p
5
(t)
Dengan menggunakan komputer didapatkan
-t (hari)
1
2
3
4
5
6
t
μ
3
6
9
12
15
18
P
n
≤
5
(t)
0.0011
0.0839
0.4126
0.7576
0.9301
0.9847
Dapat dilihat dari table bahwa probabilitas pengajuan pesanan sebelum dan pada hari t
meningkat secara monoton dengan t.
