Απαντήσει&I

Για x κοντά στ? 0 θεωρούμε τ?

This preview shows 40 out of 42 pages.

Για x κοντά στο 0 θεωρούμε τη συνάρτηση f x h x f x xh x x με   x 0 x 0 f x limh x lim 1+f 0 x Οπότε x 0 x 0 limf x lim xh x 0 και αφού f τρεις φορές παραγωγίσιμη στο θα είναι και συνεχής στο άρα θα είναι συνεχής και 0 x 0 . Έτσι λοιπόν   x 0 f 0 limf x 0 Επιπλέον       x 0 x 0 f x f 0 f x f 0 lim lim 1 f 0 1 x x Τελικά Α ε : y x Δ2) Αφού f  συνεχής και f x 0  για κάθε x συμπεραίνουμε ότι η f  θα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο . Ας υποθέσουμε ότι f x 0  για κάθε x οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Έτσι λοιπόν f συνεχής στο [0,1] f παραγωγίσιμη στο (0,1) Από Θεώρημα Μέσης Τιμής υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ 0,1 τέτοιο ώστε:         f ξ f 1 f 0 f 0 Όμως         f : ξ 0,1 0 ξ 1 f 0 f ξ f ξ f 0 Άτοπο Άρα f x 0  για κάθε x οπότε f κυρτή στο Δ3) g x f x 1 . Είναι   g 0 0 Αφού f κυρτή στο έχουμε ότι η f ΄ είναι γνησίως αύξουσα στο Έτσι λοιπόν είναι:   f : x 0 f x f 0 1 f x 1 0 g x 0   f : x 0 f x f 0 1 f x 1 0 g x 0 x - 0 + g x - + g
Image of page 40

Subscribe to view the full document.

Λύσεις Θεμάτων Επαναληπτικών Πανελλαδικών Επιμέλεια: Σίσκας Χρήστος [email protected] Σελίδα 41 Από τον πίνακα μεταβολών έχουμε ότι η g παρουσιάζει Ολικό ελάχιστο στο 0 x 0 με τιμή:     g 0 f 0 0 Έτσι λοιπόν x 0 x 0 ημx ημx 1 lim lim x x g x g x   Διότι g x 0 για κάθε x κοντά στο 0 αφού g παρουσιάζει Ολικό Ελάχιστο στο 0 x 0 Δ4) g x 0 για κάθε x άρα f x x με το «=» μόνο για x 0 .
Image of page 41
Image of page 42
You've reached the end of this preview.
  • Winter '09
  • Nikos

{[ snackBarMessage ]}

What students are saying

  • Left Quote Icon

    As a current student on this bumpy collegiate pathway, I stumbled upon Course Hero, where I can find study resources for nearly all my courses, get online help from tutors 24/7, and even share my old projects, papers, and lecture notes with other students.

    Student Picture

    Kiran Temple University Fox School of Business ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    I cannot even describe how much Course Hero helped me this summer. It’s truly become something I can always rely on and help me. In the end, I was not only able to survive summer classes, but I was able to thrive thanks to Course Hero.

    Student Picture

    Dana University of Pennsylvania ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    The ability to access any university’s resources through Course Hero proved invaluable in my case. I was behind on Tulane coursework and actually used UCLA’s materials to help me move forward and get everything together on time.

    Student Picture

    Jill Tulane University ‘16, Course Hero Intern