20 osp 2013 banyaknya bilangan bulat positif n yang

This preview shows page 105 - 108 out of 125 pages.

20. (OSP, 2013) Banyaknya bilangan bulat positif n yang memenuhi merupakan bilangan kuadrat sempurna adalah .... 5. Kongruensi/Modulo Konsep tentang kongruensi ini banyak digunakan dalam menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan mencari sisa suatu bilangan jika dibagi dengan bilangan lain atau mencari angka satuan suatu bilangan. Dan sebagian besar soal tentang teori bilangan pada olimpiade matematika sering menggunakan konsep kongruensi ini. Sebenarnya konsep ini telah diberikan pada waktu di SD, yaitu konsep bilangan jam. Mari kita pelajari konsep ini secara mendalam dan aplikasinya juga. Definisi Misalkan m bilangan bulat tidak nol. Jika a dan b bilangan bulat, kita katakan bahwa a kongruen b modulo m jika | ( ) Jika a kongruen b modulo m, kita notasikan sebagai ( ) . Jika ( kita katakan bahwa a dan b tidak kongruen modulo m , dan kita notasikan sebagai ( ) Secara umum, ( ) untuk sebarang dan ( ) jika | Contoh 1: Kita memiliki ( ) karena |( ) Dan juga ( ) ; ( ) . Tetapi, ( ) karena ( ) .
Image of page 105

Subscribe to view the full document.

Didik Sadianto, M.Pd. 2015 Langkah Emas Menuju Sukses OSN Matematika- Bidang Teori Bilangan Hal 102 Teorema 1 Jika a dan b bilangan bulat, maka ( ) jika dan hanya jika ada suatu bilangan bulat k sedemikian sehingga Dari teorema ini, kita dapat katakan bahwa jika ( ) , maka kita sama saja mencari sisa b ketika a dibagi oleh m . Bukti: Jika ( ) , maka | ( ) Ini berarti ada suatu bilangan k sedemikian sehingga ( ) . Contoh 2: Buktikan bahwa ( ) ( ) Bukti: Membuktikan bahwa ) (mod m b b am n n sama artinya dengan membuktikan ada suatu bilangan bulat k sehingga km b b am b km b am n n n n ) ( ) ( . Perhatikan bahwa: n n n n n n n b b b am n b am n am b b am 1 1 ) ( ... ) ( m b na am nba am a n n n 1 2 1 ... ) ( ) ( m k (terbukti). Rumusan pada contoh 2 di atas dapat digunakan menentukan sisa pembagian bilangan yang relatif besar. Untuk aplikasinya, perhatikan contoh 3 di bawah ini. Contoh 3: Tentukan sisa pembagian jika dibagi oleh 7. Pembahasan: ( ) ( ) ( ) ( ) Jadi, sisa pembagiannya adalah 1. Teorema 2 Misalkan a,b,c,d,m, dan n merupakan bilangan bulat, ( ) ( ) Maka c. ( ) d. ( ) e. ( ) f. Jika | | ( ) maka ( )
Image of page 106
Didik Sadianto, M.Pd. 2015 Langkah Emas Menuju Sukses OSN Matematika- Bidang Teori Bilangan Hal 103 Berikut ini beberapa teorema pendukung tentang kongruensi: a. Jika bilangan prima, maka ( ) ( ) , - b. Jika bilangan prima, maka ( ) ( ) , - c. Jika ( ) maka ( ) dimana dan bilangan prima d. Jika ( ) ( ) ( ) maka ( ) Contoh 4: Tentukan sisa ketika dibagi oleh 11. Pembahasan: Perhatikan bahwa: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ....... (i) Untuk ( ) ( ) ...(ii) Dari (i) dan (ii), kita peroleh: ( ) Jadi, sisanya adalah 2. Contoh 5: Tentukan sisa pembagian jika dibagi oleh 26. Pembahasan: ( ) ( ) ( ) ( ) Jadi, sisanya adalah 1. Contoh 6: Tentukan sisa pembagian jika 20 1978 dibagi oleh 125. Pembahasan: 125 mod 484 125 mod ) 22 ( 22 125 . 16 1978 10 20 20 20 125 mod ) 16 125 . 4 ( 10
Image of page 107

Subscribe to view the full document.

Didik Sadianto, M.Pd. 2015 Langkah Emas Menuju Sukses OSN Matematika- Bidang Teori Bilangan Hal 104 125 mod ) 16 ( 10 125 mod 6 125 mod ) 6 125 . 2 ( 125 mod 256 5 5 5  125 mod 7 32 125 mod 3 2 5 5 125 mod 26 Jadi, sisanya adalah 26.
Image of page 108
You've reached the end of this preview.
  • Winter '16
  • BURHANUDIN

{[ snackBarMessage ]}

What students are saying

  • Left Quote Icon

    As a current student on this bumpy collegiate pathway, I stumbled upon Course Hero, where I can find study resources for nearly all my courses, get online help from tutors 24/7, and even share my old projects, papers, and lecture notes with other students.

    Student Picture

    Kiran Temple University Fox School of Business ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    I cannot even describe how much Course Hero helped me this summer. It’s truly become something I can always rely on and help me. In the end, I was not only able to survive summer classes, but I was able to thrive thanks to Course Hero.

    Student Picture

    Dana University of Pennsylvania ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    The ability to access any university’s resources through Course Hero proved invaluable in my case. I was behind on Tulane coursework and actually used UCLA’s materials to help me move forward and get everything together on time.

    Student Picture

    Jill Tulane University ‘16, Course Hero Intern