Travail dun chargement constant lors dun mouvement

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travail d’un chargement constant lors d’un mouvement dˆu ` a une autre charge Supposons qu’un torseur de chargement { τ A } soit appliqu´ e `a un point A et que ce point A subisse un torseur de d´ eplacment { U A } dˆu `a un autre chargement. Le travail de { τ A } dans le mouvement { U A } est, W ext = ~ F.~u A + ˘ C. ˘ ω , (2.52) qui diff` ere de l’´ equation 2.51 simplement par l’absence du coefficient 1 2 . 47 cel-00611692, version 1 - 27 Jul 2011
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th´ eor` eme de r´ eciprocit´ e de Maxwell-Betti Supposons maintenant qu’un syst` eme subisse : – un premier chargement { τ 1 } en un point A qui implique un champs de d´ eplacement { U 1 } en tout point de la poutre. Ce premier chargement est suivi d’un second { τ 2 } en un point B, qui implique un champs de d´ eplacement suppl´ ementaire { U 2 } . Dans la premi` ere phase, le travail ext´ erieur est W 11 = 1 2 ~ F A .~u 1 A + ˘ C A . ˘ ω 1 A . Dans la seconde phase il est W 12 + W 22 = ~ F A .~u 2 A + ˘ C A . ˘ ω 2 A + 1 2 ~ F B .~u 2 B + ˘ C B . ˘ ω 2 B . – un premier chargement { τ 2 } en un point B qui implique un champs de d´ eplacement { U 2 } en tout point de la poutre. Ce premier chargement est suivi d’un second { τ 1 } en un point A, qui implique un champs de d´ eplacement suppl´ ementaire { U 1 } . Dans la premi` ere phase, le travail ext´ erieur est W 22 = 1 2 ~ F B .~u 2 B + ˘ C B . ˘ ω 2 B . Dans la seconde phase il est W 21 + W 11 = ~ F B .~u 1 B + ˘ C B . ˘ ω 1 B + 1 2 ~ F A .~u 1 A + ˘ C A . ˘ ω 1 A . Le champ de d´ eplacement total ne d´ epend pas de l’ordre dans lequel les chargements ont ´ et´ e appliqu´ es. Le travail des forces ext´ erieures n’en d´ epend donc pas. Egaler ces travaux amm` ene `a l’´ egalit´ e W 12 = W 21 : le travail du chargement 1 dans le d´ eplacement 2 est ´ egal au travail du chargement 2 dans le d´ eplacement 1 . A titre d’illustration, si le chargement 1 est une force ~ F 1 A en A qui implique un d´ eplacement ~u 1 B en B, le chargement 2 est une force ~ F 2 B en B qui implique un d´ eplacement ~u 2 A en A, alors, ~ F 1 A .~u 2 A = ~ F 2 B .~u 1 B . (2.53) Si les modules des forces et leurs directions sont les mˆ emes, et que les d´ eplacements sont mesur´ es dans les directions de ces forces, u 2 A = u 1 B . (2.54) Si l’on appelle c 12 = u 1 B F 1 A , le coefficient d’influence d’une force en A sur le d´ eplacement en B, on a alors l’´ egalit´ e des coefficients d’influence, c 12 = c 21 . (2.55) Le coefficient d’influence n’est rien d’autre que la fonction de r´ eponse en fr´ equence entre le point A et le point B `a fr´ equence nulle. Assimilation Pour v´ erifier que vous avez assimil´ e ce paragraphe, je vous invite `a obtenir le brevet 058. Si vous avez des difficult´ es, je vous invite `a contacter le r´ ef´ erent du brevet correspondant, dont le m´ el est disponible sur http ://umtice.univ-lemans.fr/course/view.php ?id=95. th´ eor` eme de Castigliano Sur l’exemple du ressort de raideur k , montrons que le d´ eplacement u et reli´ e `a la force F par u = ∂W ext ∂F . W ext = 1 2 uF , or u = F/k , donc W ext = 1 2 F 2 /k , d’o`u ∂W ext ∂F = F/k et ∂W ext ∂F = u .
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