{[ promptMessage ]}

Bookmark it

{[ promptMessage ]}

Travail dun chargement constant lors dun mouvement

Info iconThis preview shows pages 48–50. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
travail d’un chargement constant lors d’un mouvement dˆu ` a une autre charge Supposons qu’un torseur de chargement { τ A } soit appliqu´ e `a un point A et que ce point A subisse un torseur de d´ eplacment { U A } dˆu `a un autre chargement. Le travail de { τ A } dans le mouvement { U A } est, W ext = ~ F.~u A + ˘ C. ˘ ω , (2.52) qui diff` ere de l’´ equation 2.51 simplement par l’absence du coefficient 1 2 . 47 cel-00611692, version 1 - 27 Jul 2011
Background image of page 48

Info iconThis preview has intentionally blurred sections. Sign up to view the full version.

View Full Document Right Arrow Icon
th´ eor` eme de r´ eciprocit´ e de Maxwell-Betti Supposons maintenant qu’un syst` eme subisse : – un premier chargement { τ 1 } en un point A qui implique un champs de d´ eplacement { U 1 } en tout point de la poutre. Ce premier chargement est suivi d’un second { τ 2 } en un point B, qui implique un champs de d´ eplacement suppl´ ementaire { U 2 } . Dans la premi` ere phase, le travail ext´ erieur est W 11 = 1 2 ~ F A .~u 1 A + ˘ C A . ˘ ω 1 A . Dans la seconde phase il est W 12 + W 22 = ~ F A .~u 2 A + ˘ C A . ˘ ω 2 A + 1 2 ~ F B .~u 2 B + ˘ C B . ˘ ω 2 B . – un premier chargement { τ 2 } en un point B qui implique un champs de d´ eplacement { U 2 } en tout point de la poutre. Ce premier chargement est suivi d’un second { τ 1 } en un point A, qui implique un champs de d´ eplacement suppl´ ementaire { U 1 } . Dans la premi` ere phase, le travail ext´ erieur est W 22 = 1 2 ~ F B .~u 2 B + ˘ C B . ˘ ω 2 B . Dans la seconde phase il est W 21 + W 11 = ~ F B .~u 1 B + ˘ C B . ˘ ω 1 B + 1 2 ~ F A .~u 1 A + ˘ C A . ˘ ω 1 A . Le champ de d´ eplacement total ne d´ epend pas de l’ordre dans lequel les chargements ont ´ et´ e appliqu´ es. Le travail des forces ext´ erieures n’en d´ epend donc pas. Egaler ces travaux amm` ene `a l’´ egalit´ e W 12 = W 21 : le travail du chargement 1 dans le d´ eplacement 2 est ´ egal au travail du chargement 2 dans le d´ eplacement 1 . A titre d’illustration, si le chargement 1 est une force ~ F 1 A en A qui implique un d´ eplacement ~u 1 B en B, le chargement 2 est une force ~ F 2 B en B qui implique un d´ eplacement ~u 2 A en A, alors, ~ F 1 A .~u 2 A = ~ F 2 B .~u 1 B . (2.53) Si les modules des forces et leurs directions sont les mˆ emes, et que les d´ eplacements sont mesur´ es dans les directions de ces forces, u 2 A = u 1 B . (2.54) Si l’on appelle c 12 = u 1 B F 1 A , le coefficient d’influence d’une force en A sur le d´ eplacement en B, on a alors l’´ egalit´ e des coefficients d’influence, c 12 = c 21 . (2.55) Le coefficient d’influence n’est rien d’autre que la fonction de r´ eponse en fr´ equence entre le point A et le point B `a fr´ equence nulle. Assimilation Pour v´ erifier que vous avez assimil´ e ce paragraphe, je vous invite `a obtenir le brevet 058. Si vous avez des difficult´ es, je vous invite `a contacter le r´ ef´ erent du brevet correspondant, dont le m´ el est disponible sur http ://umtice.univ-lemans.fr/course/view.php ?id=95. th´ eor` eme de Castigliano Sur l’exemple du ressort de raideur k , montrons que le d´ eplacement u et reli´ e `a la force F par u = ∂W ext ∂F . W ext = 1 2 uF , or u = F/k , donc W ext = 1 2 F 2 /k , d’o`u ∂W ext ∂F = F/k et ∂W ext ∂F = u .
Background image of page 49
Image of page 50
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

{[ snackBarMessage ]}