Vamos ver porque isso acontece o momentum angular de

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Vamos ver porque isso acontece: o momentum angular de transla¸c˜ ao da 118
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Lua ´ e dado por = m · r × v , onde r ´ e o raio da ´orbita e v a velocidade orbital. Como v = 2 πr/P e o per´ ıodo P 2 = kr 3 , ent˜ ao: v = 2 πr k 1 / 2 r 3 / 2 = 2 π k 1 / 2 r - 1 / 2 , = m 2 π k 1 / 2 r · r - 1 / 2 = m 2 π k 1 / 2 r 1 / 2 , ou seja, aumentando o raio da ´orbita r , aumenta o momentum angular or- bital, compensando a redu¸c˜ ao do momentum angular de rota¸c˜ ao (spin). --→ total = -----→ rota¸c˜ ao Terra + -----→ rota¸c˜ ao Lua + --------→ transla¸c˜ ao Terra - Lua No futuro distante, a sincroniza¸c˜ ao da ´orbita da Terra com a Lua impli- car´a que o dia e o mˆ es ter˜ao a mesma dura¸c˜ ao, que ser´a igual a aproxima- damente 35 dias atuais! No passado, a Terra devia girar mais r´apido e, por- tanto, o dia devia ser mais curto. De fato, estudos paleontol´ ogicos indicam que 100 milh˜oes anos atr´as o ano tinha 400 dias; o dia 21 horas; e as mar´ es eram muito mais intensas, pois a Lua estava mais pr´oxima. A evidˆ encia vem de certas criaturas marinhas cujas conchas tˆ em bandas de crescimento di´arios e mensais, permitindo que os cientistas contem os n´umeros de bandas em um ciclo mensal em f´osseis de idades diferentes. 13.2.4 Limite de Roche Uma conseq¨uˆ encia das for¸cas de mar´ e ´ e que um sat´ elite em geral n˜ao pode chegar muito perto de seu planeta sem se romper. O limite de Roche ´ e a distˆancia m´ ınima do centro do planeta que um sat´ elite fluido pode chegar sem se tornar inst´avel frente a rompimento por mar´ e. Em 1850, o astrˆonomo e matem´atico francˆ es Edouard Roche (1820-1883) demonstrou que, para um sat´ elite fluido, mantido apenas por sua auto- gravidade , de densidade m´ edia ρ m , orbitando em torno de um planeta de densidade m´ edia ρ M e raio R , a distˆancia m´ ınima do planeta em que o sat´ elite pode orbitar estavelmente ´ e d = 2 , 44 ρ M ρ m 1 / 3 R. Se o planeta e o sat´ elite tiverem densidades iguais, o limite de Roche ´ e 2,44 vezes o raio do planeta. 119
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Uma deriva¸ ao simples do limite se obt´ em considerando duas part´ ıcu- las de massas m iguais, e se tocando, isto ´ e, separadas somente por uma distˆ ancia dr . A for¸ca gravitacional entre as part´ ıculas ´ e dada por: F G = Gmm ( dr ) 2 e a for¸ca de mar´ e de um corpo de massa M , e a uma distˆancia d , sobre elas ser´ a: F M = 2 GMm dr d 3 Para as duas part´ ıculas permanecerem juntas, a for¸ca gravitacional entre elas tem de balan¸car a for¸ca de mar´ e, logo Gmm ( dr ) 2 = 2 GMm dr d 3 e d = (2 M/m ) 1 / 3 dr. ß Seja ρ M = M 4 / 3 πR 3 , e ρ m = 2 m 8 / 3 π ( dr/ 2) 3 , d = (16) 1 / 3 ρ M ρ m 1 / 3 R = 2 , 51 ρ M ρ m 1 / 3 R. O valor da constante num´ erica, 2,51 em vez de 2,44, ´ e porque n˜ao levamos em conta que as part´ ıculas formam um fluido. O limite de estabilidade de Roche se aplica somente a sat´ elites fluidos, sem tens˜oes intr´ ınsecas. Em 1974, Hans R. Aggarwald e Vern R. Oberbeck estudaram o caso de ruptura por mar´ e de corpos esferoidais s´olidos, rochosos ou gelados, mantidos coesos por for¸cas de tens˜ao intr´ ınsecas de seu material. Encontra- ram que, para sat´ elites desse tipo, com diˆametros maiores do que 40 km, a distˆ ancia m´ ınima que eles podem chegar de seu planeta sem quebrar ´ e: d = 1
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