Em 1972 richard karp descobriu outros 24 problemas np

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Em 1972, Richard Karp descobriu outros 24 problemas NP-completo. A lista hoje contém 4000 problemas. Se uma solução polinomial for encontrada para um deles, automaticamente teremos a solução polinomial para todos os demais. Se alguém provar que um desses problemas não pode ser resolvido em tempo polinomial, nenhum deles poderá. Todos os problemas NP-completo são polinomialmente equivalentes entre si, o que indica que eles têm uma estrutura em comum. Definição: Clique de um grafo é um subgrafo completo deste grafo. O problema do clique é: determine se o grafo contém um clique de tamanho K. Clique é NP - completo, pois SAT é redutível ao problema do clique: 67
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Y 2 W 2 SAT X 1 X 2 Y 1 clique Dado um problema qualquer em NP, digamos X 1 , podemos reduzi-lo a SAT e então reduzir SAT ao problema do clique. Resolvendo clique, resolvemos X 1 . Então, qualquer problema em NP é redutível ao clique. Em uma figura, como a acima, representando relações de redução, um problema X será NP-completo se existir um caminho de X para SAT. Como X também pertence a NP, existirá seta de SAT para X, pois qualquer problema em NP pode ser reduzido a SAT. Em geral, não se prova que SAT é redutível a um problema X, mas sim que algum problema NP-completo é redutível a X. No desenho abaixo mostrando as relações de redução, suponha que foi provado que clique é redutível a A. Como o problema do clique é NP- completo, A também o é. Y 2 W 2 SAT X 1 X 2 Y 1 clique A C B NP - completo Observe que todos os problemas NP - completo são polinomialmente equivalentes, pois um pode ser reduzido a outro em tempo polinomial. Dados dois problemas NP- completo X e Y, existe sempre um caminho de X para Y e outro de Y para X, pelo menos um deles passando por SAT. Por exemplo, podemos usar a solução de A para resolver C usando o caminho A clique SAT C. 16.2 Exercícios 78 (3) Dados os problemas (a) Dado um vetor de elementos x 1 , x 2 , … x n , encontre um elemento x dentre eles tal que x é maior ou igual que n/2 elementos. (b) Ordene o vetor descrito em (a). 68
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(c) Encontre o menor e o maior elementos do vetor. Reduza: (a) a (b). (a) a (c). (c) a (b). 79 (5) Assuma que um problema P é polinomialmente redutível a Q e: (a) A Entrada de P pode ser transformada em entrada para Q em tempo O (n log n). (b) Um algoritmo AQ que resolve o problema Q pode ser Executado em tempo O (n 2 ). Explique como podemos fazer um algoritmo para P usando AQ. Qual a complexidade deste algoritmo ? 80 (5) Um problema P toma um vetor de n inteiros qualquer como entrada e não conhecemos nenhum algoritmo para resolvê-lo. Contudo, descobrimos que P pode ser reduzido a um problema Q, que tem como entrada um vetor ordenado de inteiros. Admitindo que exista um procedimento procedure ProcQ (vet, n) : boolean; que resolva o problema Q, faça um procedimento ProcP para resolver o problema P. Admita a existência de um procedimento Ordene (vet, n) que ordena vetor vet de n inteiros.
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